대한민국 실질 GDP 12개월 성장 위험

한국 실질 GDP에 적용한 Growth-at-Risk이며, 12개월(4분기) 후 평균 연율 성장률의 조건부 5 분위수가 헤드라인이다. 관심 대상은 현재 여건과 현재 장기 성장 상태 하의 성장률 조건부 분포 전체이며, 핵심 질문은 성장률의 중심이 어디에 놓일지가 아니라 금융여건이 긴축될 때 하방 위험이 얼마나 깊어질 수 있는지, 그리고 한국의 추세가 변화함에 따라 중심값이 어디에 안착하는지이다. $y_{t\to t+h}$를 $t$분기부터 $t+h$분기까지의 평균 연율 실질 GDP 성장률로 두면 본 시리즈는 $h=4$에 해당하며, 헤드라인은 다음 조건부 5 분위수를 백분율로 표기한 값이다

여기서 $x_t$는 현재 성장률과 금융여건, 추세 성장 상태를 담은 조건부 변수 벡터이다. $q_{05}$부터 $q_{95}$로 이어지는 팬, 하방 기대 결손, 하방−상방 비대칭은 현재 여건이 분포의 어느 부분에 작용하는지를 보기 위한 보조 시리즈로 제공된다. 헤드라인이 낮을수록 조건부 하방 위험이 깊음을 뜻하며, 본 지표는 조건부 분포의 서술이지 점추정 예측이 아니다.

조건부 분위는 $\tau$마다 별도로 적합한 분위회귀(Koenker and Bassett 1978)에서 나오며, 산출 절차는 다음과 같다.

(1) 조건부 분위회귀. 각 $\tau$에 대해 조건부 분위를 회귀변수의 아핀 함수로 둔다.

여기서 조건부 변수 벡터는 다음과 같이 정의된다

수준 통제 $g_t$는 현재 연율 전분기 대비 성장률이고, $\text{KRFCI}^{\perp}$는 거시 직교화한 금융여건지수이며, $g^{f}_t$는 HLW 모형(Holston, Laubach, and Williams 2023)의 일방 추세 성장률 상태이다. $g^{f}_t$는 HLW 단계가 헤드라인으로 공표하는 양방 RTS 평활 추정치가 아니라 분기말 칼만 필터 추정치이며, $t$ 시점의 필터가 $t$까지의 자료만 사용하므로 룩어헤드가 없다. 계수는 분기 빈도에서 목표의 본래 주기로 추정하고, 겹치는 $h$분기 목표를 흡수하기 위해 시차 $h-1$의 Newey-West HAC 표준오차를 적용한다.

(2) 조건부 분위 산출. 추정한 절편과 기울기는 매 분기말에 동일 시점의 회귀변수

에 대해 평가하여 행별로 일곱 개의 조건부 분위를 산출하며, $\tau$ 방향의 행 내 단조성은 Chernozhukov, Fernández-Val, and Galichon (2010)의 재배열로 강제한다. 본 시계열은 분기 단위로 산출하며 일별 격자에 사영한 분기 모형이 아니므로 공표 시차 전진 보간은 적용하지 않는다.

(3) 기대 결손과 비대칭. 기대 결손과 비대칭 층은 재배열된 조건부 분위에 적합한 Azzalini–Capitanio 스큐-t(Azzalini and Capitanio 2003)에서 얻는다. 분기 빈도에서 표본은 약 80행에 불과하므로, 형상 모수를 분기말에 적합한 뒤 전진 보간하는 대신 4개 모수 $(\xi, \omega, \alpha, \nu)$ 전체를 분기마다 직접 적합하며, 적합은 닫힌형 스큐-t 분위함수에 대한 시드 다출발 최소제곱으로 이루어진다. 기대 결손은 임계값을 QR로 직접 산출한 $q_{05}$에 고정한 상태에서 분기별 스큐-t 하의 $E[y\mid y < q_{05}]$로 정의되며, 그 결과 $\text{ES}\le q_{05}$가 구성상 성립한다. 스큐-t 적합이 수렴하지 않거나 $\nu$가 상한에 고정되는 분기는 스큐-노멀 대체 적합으로 처리하고, 격자 보간 잔차 오차는 $\text{ES}\le q_{05}$ 강제 클립으로 흡수한다. 비대칭은

로 정의되며, 양수일 때 상방보다 하방의 꼬리가 두꺼움을 의미한다.

(4) 실시간 갱신. 계수는 매 분기 실행마다 전체 표본으로 재추정하므로, HLW 필터가 이후 자료를 반영함에 따라 최근 분기의 값은 갱신되며, 가장 최근에 공표된 분기들이 가장 덜 안정된 상태이다.

조건부 성장률 분포는 금융여건에 비대칭적으로 반응한다. 여건이 긴축되면 하방 꼬리는 가파르게 내려가는 반면 상방 꼬리는 거의 움직이지 않으므로, 평균 예측은 그 비대칭을 평균으로 묻어버린다. 하방 꼬리에 분위회귀(Koenker and Bassett 1978)를 적용하면 분포의 중앙이 놓치는 at-risk 신호가 다시 살아난다. 본 지표의 이론적 기반은 Adrian, Boyarchenko, and Giannone (2019)의 Vulnerable Growth 프레임워크이며, Engle and Manganelli (2004)가 CAViaR 계열로 연 조건부 분위 시계열 전통 위에 서 있다.

12개월이라는 시계는 Growth-at-Risk 감독 실무가 합의한 보고 주기이다. Vulnerable Growth 프레임워크가 실무에 자리 잡은 뒤 각국 중앙은행의 금융안정보고서가 채택한 시계가 4분기이며, 1년 후라는 시계가 경기대응완충자본 결정의 주기와 정합적이라는 점이 그 이유이고(Adams, Adrian, Boyarchenko, and Giannone 2021), International Monetary Fund (2017) Global Financial Stability Report가 Growth-at-Risk 보고에 사용하는 감독 주기도 동일하다.

독립적 평가가 이 프레임워크를 어디까지 뒷받침하는지 솔직하게 요약하면 그 결론은 엇갈린다. Plagborg-Møller, Reichlin, Ricco, and Hasenzagl (2020)은 미국 자료에서 외견상의 at-risk 신호 상당 부분이 설정과 회귀변수 선택을 스트레스 테스트하면 사라진다고 보고하는 반면, Brownlees and Souza (2021)은 패널이 더 긴 나라들에서 금융여건 회귀변수를 사용한 직접 분위회귀가 실제 표본 외 평가에서 비조건부 벤치마크를 이긴다는 것을 보인다. 한국 패널이 짧기 때문에, 본 모형은 이 보정 논쟁을 결론짓는 증거가 아니라 주장 가능한 범위를 좁히는 경계로 읽는다.

순환과 금융여건지수에 더해 HLW 필터 추세를 조건으로 추가하면 조건부 분포 전체가 한국의 장기 추세를 타게 되어 수준 문제가 전체 표본 절편에 흡수되지 않으며, 이로써 본 지표의 작동 방식과 읽는 방식이 달라진다. 중앙값에서 $g^{f}_t$의 계수는 약 $+1$에 가까우므로 조건부 중앙값은 전체 표본 평균이 아니라 한국의 추세를 따라간다. 12개월 중앙값은 2006–2010년의 약 3.9 %에서 2020년대의 약 2.3 %로 하락하며, 시기 단위에서 실현 4분기 후 성장률 및 HLW 추세와 일치한다. 12개월 $\tau=0.05$ 핀볼 비율은 확장 윈도우 역사적 분위 벤치마크 대비 0.90, 상방 꼬리 비율은 0.94이다. Christoffersen (1998)이 정리한 적합도 검정 프레임과 Galbraith and van Norden (2019)이 정리한 분위 평가 도구함 위에서, PIT 히트율은 모든 7개 $\tau$에서 명목값으로부터 약 2 % 포인트 이내에 들어온다. 표본이 짧기 때문에 1을 약간 하회하는 비율은 단일 패널의 작은 마진 수치이지 통계적으로 확립된 결과는 아니다.

정직한 두 가지 유보가 남는다. 한국의 2007년 이후 분기 패널은 관측치가 약 120개에 불과하고 본격적인 경기수축은 글로벌 금융위기와 코로나 두 사건뿐이므로, $\tau=0.05$에서 $\text{KRFCI}^{\perp}$의 기울기는 추정 정밀도가 떨어진 채로 남고 깊은 꼬리에서 순환 신호는 제약된다. 최근 $q_{05}$가 음수가 아니라 약간 양수에 자리하는 것은 결함이 아니라 낮은 추세 환경과 잠잠한 금융여건 아래서의 올바른 보정이며, 전체 표본 PIT@$\tau=0.05$가 명목 5 %에 대해 4.0 %이고 2020년 이후 실현된 21개 관측치 중 단 1개만이 조건부 $q_{05}$ 아래로 떨어진다는 점이 이를 뒷받침한다. 2008–09년 국면이 본 구성을 가장 또렷이 보여주는 시기이다. KRFCI의 표준화 점수는 2008년 말 $+10$을 돌파했다(Baba and Shim 2010). 추세 회귀변수는 4.5 % 부근에 있었고, 조건부 $q_{05}$는 2007년 초의 조건부 시점에서 약 $-3$까지 내려갔다. 이 시점들은 2007년 말부터 2008년 저점에 이르는 4분기 창의 시기를 표시하며, 그 후 실현된 수축은 조건부 하방 꼬리에 안착했다.

헤드라인 $q_{05}$는 1년 후 실질 활동에 대한 현재 여건 Value-at-Risk로 읽힌다. 이 값은 KRFCI에 맞춰 조정되고 $g^{f}_t$를 통해 한국의 장기 추세에 닻을 내린, 정책 관련 시계의 하방 위험 척도이다. 본 시계에서 Growth-at-Risk를 보고하는 중앙은행은 하방 위험 분포가 경기 흐름과 함께 어떻게 진화하는지를 추적하기 위해 이 지표를 사용하고(Adams, Adrian, Boyarchenko, and Giannone 2021), International Monetary Fund (2017) Global Financial Stability Report는 같은 감독 대상의 국가 횡단 판본을 작성한다. 한국은행에서 자연스러운 닻은 경기대응완충자본 점검이며 그 결정 주기는 대체로 이 시계와 일치하므로, 본 지표는 새로운 감독 일정을 요구하지 않고 기존 점검에 자리 잡는다.

팬과 기대 결손은 본 구성이 단일 시점 성장 나우캐스트를 넘어 그 복잡성에 값하는 영역이다. 중앙값이 안정된 상태에서 하방 산포가 벌어지는 경우는 중심값이 움직이기 전에 현재 여건이 꼬리 위험을 가격에 반영하고 있다는 체제 신호이며, 하방 기대 결손은 12개월 시계에서 시나리오 스트레스 설계의 자연스러운 입력값이다. 비대칭 채널은 여건이 조건부 분포를 어느 방향으로 기울이고 있는지를 보여주므로, 그 부호와 크기는 $q_{05}$의 수준과 함께 1차 감독 변수가 된다.

추세 유보의 방향은 추세 조건화 이전의 고정 평균 Growth-at-Risk와 반대 방향으로 작동한다. 추세를 조건에 넣기 전에는 잠잠한 여건 환경에서 약간 양수인 $q_{05}$가 하방 위험의 과소 평가처럼 보였지만, HLW 추세가 회귀식에 들어간 뒤에는 같은 수치가 낮은 추세 환경에서 게이지가 내놓는 보정된 답이지 결함이 아니다. 팬의 정보는 그 폭과 형태에 머무르며, 본 지표를 KRFCI와 짝지어 읽으면 여건 신호와 추세 신호를 분리해 둘 수 있다. 두 지표를 나란히 읽는 것이 어느 한쪽만 읽는 것보다 낫다는 실용적 결론은 Plagborg-Møller, Reichlin, Ricco, and Hasenzagl (2020)이 연 보정 논쟁이 가리키는 방향과도 같다.

KRGAR12M은 성장을 직교화한 금융상황지수에 대해 분위회귀하여 적합한 $\hat{q}_t(\theta)=x_t^{\top}\hat{\beta}(\theta)$ 형태의 추정 조건부 분위수 경로이므로, 경로의 지속성은 조건화 변수로부터 물려받은 것이지 성장 신호 자체의 성질이 아니다. 따라서 예측 품질을 담는 대상은 경로가 아니라 위반 지시 수열이며, 경로에 대한 단위근·구조변화·수준 Ljung and Box (1978) 검정군은 의도적으로 수행하지 않았는데, 피복 문제는 일변량 경로 진단이 다룰 수 없는 예측-실현 결합분포의 성질이기 때문이다 (Christoffersen 1998; Engle and Manganelli 2004; Murphy and Winkler 1987). 유계인 추정 분위수는 또한 무계 단위근 과정일 수 없으며, 그러한 대상에 표준 단위근 추론을 적용하면 표본 크기에 따라 줄지 않고 허위 정상성으로 과대기각한다 (Cavaliere 2005; Cavaliere and Xu 2014). 분위수 대상에 적합한 증거는 두 개의 고정된 극단 꼬리, 곧 하위 및 상위 극단 조건부 분위수에서의 피복 백테스트이다.

피복은 먼저 재사용한 검증 패널에서 읽는데, 이는 추정 패널에 대한 표본내 확률적분변환 적중률, 곧 실현값이 적합된 조건부 분위수 이하로 떨어지는 경험적 빈도이므로 분위수 수준 자체를 겨냥하며, 113분기에 걸쳐 하위 5퍼센트 분위수에서 0.062, 상위 95퍼센트에서 0.929로 읽히는데, 상위 값은 위반율이 아니라 95퍼센트 목표에 가까운 누적 피복이다 (Diebold, Gunther, and Tay 1998; Rosenblatt 1952).

12개월 시계는 겹치는 분기 위에 세워지므로 전체 표본에서 크기가 올바른 무조건 피복 검정이 존재하지 않는데, 문자 그대로의 Kupiec (1995) 검정과 Newey and West (1987) 자기상관 보정 피복 통계량이 모두 모형 명세에 기록된 사전 등록 몬테카를로 크기 점검에서 크게 과대크기로 나타났기 때문이며, 따라서 형식적 판정은 유보하고 전체 표본 기록은 75분기에 걸쳐 하위 꼬리 다섯 차례 초과를 0.067의 비율로, 상위 꼬리 세 차례 초과를 0.04로 서술적으로 보고한다.

오프셋 0의 비겹침 부분표본에 대한 크기가 올바른 점검은 그 시계에서 그 자체로 정보가 없는데, 18개 관측치 부분표본이 5퍼센트 꼬리에서 0.9회의 초과만을 기대하므로 하위 꼬리 한 차례와 상위 꼬리 영 차례 초과로 0.011, p = 0.915와 1.847, p = 0.174를 기록하며 판정을 내놓을 검정력이 너무 적고, 초과 비율은 네 개의 허용 오프셋에 걸쳐 각 꼬리에서 영에서 0.111까지 분포한다. 이 부분표본 점검은 올바른 조건부 피복의 가설 아래에서 정확하며, 그 가설은 간격을 둔 위반 지시자를 독립 베르누이 추출로 만든다 (Christoffersen 1998). 그러나 이는 지속적 과정의 고정된 무조건 분위수 초과에 대한 크기 통제를 주장하지 않으며, 그 경우 의존성이 비겹침 창 경계를 넘을 수 있다.

Christoffersen (1998) 독립성 및 조건부 피복 검정은 그 겹침에 비추어 읽는다. 독립성 검정은 하위 꼬리에서 5.190, p = 0.023으로 기각하고 상위 꼬리에서는 두 초과가 연속하지 않아 정보가 없으며, 결합 조건부 피복 검정은 양측 꼬리에서 5.625, p = 0.060과 0.316, p = 0.854로 기각하지 못한다. 하위 꼬리 독립성 기각은 겹치는 다단계 목표가 유발하는 기계적 군집이며 그 시계에서 유보한 전체 표본 판정과 일관된다 (Christoffersen 1998). 분기별 초과가 소수에 불과하여 완전한 동적 분위회귀에는 너무 적으므로 Engle and Manganelli (2004) 검정은 상수 전용 이항 점수 형태로 수행하며, 양측 꼬리에서 기각하지 못하는데 0.439, p = 0.508과 0.158, p = 0.691이며 완전한 도구 집합은 표본이 뒷받침할 때까지 유보한다. 교차 분위수 단조성 점검은 그 시계에서 비교차 팬을 확인한다 (Chernozhukov, Fernandez-Val, and Galichon 2010).

두 가지 한계를 그대로 밝힌다. 겹치는 목표가 위반 수열에 계열 의존을 유발하고 비겹침 부분표본이 한 번보다 적은 초과를 기대하므로 그 시계에서는 어떠한 형식적 피복 판정도 내리지 않으며 서술적 비율과 재사용한 검증 피복이 정직한 내용이다 (Christoffersen 1998; Diebold, Gunther, and Tay 1998; Rosenblatt 1952; Berkowitz 2001). 75개 분기 관측치도 올바로 설정된 꼬리에 대한 검정력이 제한되므로 서술적 기록은 정합성의 강한 증거가 아니라 약한 증거이다 (Kupiec 1995). 이들은 모수 불확실성이 기준분포에 접히지 않은 추정 분위수이므로 피복 판독은 현재 상황이 성장 분포를 어디에 두는지에 대한 서술이지 검증된 꼬리 예측이 아니다 (Campbell 2005; Escanciano and Olmo 2010).