미국 그림자 연방기금금리

USSHR은 그림자 연방기금금리이며, 정책금리가 하한에 묶인 뒤 그 자리를 대신하는 잠재 단기금리다. 시장에서 성립하는 단기금리는 그림자 금리와 그 하한 가운데 큰 쪽이므로, 하한이 느슨할 때는 둘이 겹치고 하한이 물리면 그림자 금리만 계속 움직이는데, 이는 Black (1995)이 제안하고 Wu and Xia (2016)이 추정한 장치다. 여기서 쓰는 하한은 원논문이 채택한 0.25%다. 이 계열은 KRED가 추정한 모형의 필터링된 잠재 상태이지 관측 금리도, 측정값도, 누가 공표한 계열의 통과 게시도 아니다.

모수는 원논문의 표본인 1990-01-31부터 2013-06-30까지 282개월에서 한 번 추정하며 그 뒤로는 다시 추정하지 않는다. 상태는 그 하나의 모수 벡터에서 1990-01-31부터 2026-06-30까지 438개월 전체를 인과적으로 한 번 훑는 패스로 앞으로 필터링한다. 추정 표본 이후의 모든 값은 그보다 먼저 고정된 모수에서 나오며, 이는 구성의 세부가 아니라 구성의 성질이므로 계열이 나타나는 모든 표면에 함께 따라붙는다 (Joslin, Singleton, and Zhu 2011; Hamilton and Wu 2012).

하한이 물린 108개월에서 이 경로는 원논문에 딸린 공표 그림자금리 계열과 평균 절대차 0.0609 %포인트, 최대 0.1668 %포인트, 상관 0.9992로 맞아떨어진다. 이는 일치일 뿐 그 이상이 아니다. 그 공표 계열이 재추정으로 만들어지는지 모수를 고정한 필터링으로 만들어지는지 또는 다른 방식인지는 확인되지 않았으므로, 여기서의 일치는 방법을 함께 쓴다는 뜻도, 그 계열을 이어 간다는 뜻도, 더 새로운 빈티지라는 뜻도 아니다. 하한에서 벗어난 구간에서는 그림자 금리가 정책금리를 따라가야 하며, 하한에 물리지 않은 330개월에서 평균 0.293 %포인트 떨어져 있어 비교 전에 고정한 0.3702 %포인트 허용오차 안에 든다. 한 비교 대상을 양쪽에 똑같이 놓고 재면 KRED의 거리는 0.271 %포인트, 공표 계열의 거리는 0.270 %포인트여서 KRED 쪽이 조금 더 멀며 같은 정도로 가깝다는 주장은 하지 않는다.

수준은 정확하지 않다. 게이트에 걸린 모수를 저마다 로버스트 표준오차 하나만큼 양방향으로 흔들면 공표 경로가 최대 0.9184 %포인트 움직이는데, 이는 공표 반올림 단위 0.01 %포인트에 대고 잰 값이다. 표본 최저 월인 2014-05-31에서는 그림자 금리 −2.8875% 둘레의 포락선이 −3.0050%에서 −2.7738%까지 뻗는다. 필터가 딛고 선 선도금리 표현은 근사이고 그 오차는 만기가 길수록, 하한에 머문 시간이 길수록 커지며 추정 표본을 지나면 적합도가 떨어지므로, 어느 한 달의 수준은 그 자체로 읽지 않고 이 민감도 안에서 읽는다 (Bauer, Rudebusch, and Wu 2012; Bauer and Rudebusch 2020).

이 계열이 무엇인지는 세 문장으로 닫힌다. 잠재상태이므로 여기 실린 값으로 무언가를 빌리거나 빌려주는 일은 없다. 공개하는 표면은 월별 그림자 금리와 그 날짜뿐이고 요인과 적합 선도금리, 모든 모수와 모든 가능도는 공개하지 않는다. 그리고 추정 대상은 이 하한에서 돌린 이 3요인 그림자금리 기간구조 모형의 그림자 연방기금금리이므로, 다른 시장이나 다른 사양으로 만든 그림자 금리는 다른 대상이고 그런 종류의 비교는 여기서 하지 않는다 (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015; Creal and Wu 2013; Kim and Wright 2005).

(1) 모형. 세 잠재요인이 곡선 전체를 끌고 간다. 그림자 금리는 이들에 대해 아핀이어서 절편에 고정 적재 벡터를 요인에 적용한 값을 더한 형태이고, 요인은 물리측도와 가격측도 양쪽에서 1차 벡터자기회귀를 따르며 두 측도의 모수 집합은 한 측도를 다른 측도로 옮기는 위험가격만큼만 다르다 (Wu and Xia 2016; Joslin, Singleton, and Zhu 2011).

(2) 하한. 하한 아래에서 한 기간 선도금리는 절단 정규분포의 기댓값이며, 원 연구는 이를 하한에 해당 시계의 그림자 금리 가격측도 표준편차를 곱한 항을 더한 닫힌 형태로 쓴다. 곱해지는 함수는 제약 없는 선도금리와 하한 사이의 표준화한 거리를 표준정규분포함수로 가중한 값에 표준정규 밀도를 더한 것이어서, 하한에서 멀리 위로 가면 그 거리 자체에 가까워져 식이 제약 없는 선도금리로 무너지고, 멀리 아래로 가면 0에 가까워져 선도금리가 하한 위로 주저앉는다 (Black 1995; Krippner 2013).

(3) 투입. 관측 벡터는 10년까지 일곱 만기의 1개월 선도금리이며, 매월 모수가 실린 마지막 날에 이 패널에 표준으로 쓰이는 확장 모수형 계열의 적합 무이표 곡선에서 읽는다 (Nelson and Siegel 1987; Svensson 1994; Gürkaynak, Sack, and Wright 2007). 각 선도금리는 연속복리 무이표 금리에서 긴 만기의 금리에 그 만기를 곱한 값에서 짧은 만기의 금리에 그 만기를 곱한 값을 뺀 형태로 만들고, 필터는 월 단위 소수로 돌린다.

(4) 추정. 결정론적인 두 단계다. 하한이 없는 가우시안 모형을 선형 필터링으로 먼저 적합하고 그 최적점을 출발점으로 하한이 있는 모형을 적합하는데, 뒤쪽은 하한 함수를 현재 상태 추정치 둘레에서 선형화하는 확장 칼만 필터로 추정한다. 식별은 원 연구의 정규화를 따라 적재 벡터를 고정하고 가격측도 절편을 0으로 두며 가격측도 전이행렬을 고윳값 순서를 정한 실 조르당 형태로, 변동성 행렬을 하삼각으로 놓아 자유모수 22개와 공통 측정분산 하나를 남긴다. 추정은 원논문의 표본인 282개월에서만 돌리므로, 이 길이의 표본에서 추정된 지속성에 붙는 하향 편의는 여기서 교정하지 않고 밝힌 채로 안고 간다 (Bauer, Rudebusch, and Wu 2012; Hamilton and Wu 2012).

(5) 앞으로 필터링. 공표 경로는 그 모수 벡터에서 438개월 전체를 같은 필터로 인과적으로 한 번 훑은 결과이며, 요인 과정의 무조건 평균과 공분산에서 한 번 초기화한 뒤 다시 초기화하지 않는다. 평활기는 계열에 손대지 않으므로 과거 시점의 값이 뒤에 들어온 정보로 개정되지 않으며, 이는 모수를 다시 추정하며 필터링하는 기간구조 상태가 보이는 빈티지 거동과는 반대다 (Kim and Wright 2005; Kim and Orphanides 2012).

(6) 경로 곁에서 계산하는 공시. 선도금리 표현의 근사오차는 정확한 평가에 대고 시뮬레이션으로 재는데, 표본의 모든 1월을 평균하면 10년 선도에서 4.41 bp, 10년 수익률에서 1.54 bp이고, 원논문이 쓴 1월만 모으면 2.50 bp와 1.02 bp이며, 원논문이 보고한 값은 2.30 bp와 0.78 bp다. 따라서 오차는 만기가 길수록 커지고 추정 표본을 지나면 적합도가 떨어진다. 모수 벡터에 대한 민감도는 게이트에 걸린 모수를 저마다 로버스트 표준오차 하나만큼 양방향으로 흔들어 다시 필터링해 재며, 그 결과 경로가 최대 0.9184 %포인트 움직여 공표 반올림 단위 0.01 %포인트를 크게 넘어선다 (Creal and Wu 2013; Bauer and Rudebusch 2020).

(7) 하한이 물린 달. 어느 달의 말일 목표범위 상단이 0.25% 이하이면 그달을 하한이 물린 달로 세며, 438개월 가운데 108개월이 이에 해당하고 첫 달은 2008-12-31이다. 원논문이 하한 구간을 음영으로 표시한 시작은 2009-01이며, 이 한 달 차이는 여기서 공시하고 바꿔 끼우지 않는다. 하한 밖 구간에서 그림자 금리와 정책금리 사이에 남는 거리의 일부는 모형 오차가 아니라 시점 어긋남인데, 그림자 금리는 말일 값이고 맞세우는 정책금리는 월 평균이기 때문이다 (Christensen and Rudebusch 2015).

정책금리가 하한에 닿으면 관측 금리는 기조의 변화를 더 기록하지 못하지만, 자산 매입과 경로에 대한 사전 안내, 하한이 유지되리라 보는 기간은 곡선을 계속 움직인다. 그림자 금리는 곡선이 그 기조에 대해 말하는 바를 다시 금리 단위로 옮기며, 이 구성이 존재하는 까닭이 바로 그것이다 (Black 1995; Wu and Xia 2016).

반응함수나 거시 회귀에서 정책금리 자리에 넣으면 하한 구간에도 끊기지 않는 기조 변수가 되살아난다. 그 구간은 그렇지 않으면 값이 붙박인 구간이어서 금리에 기댄 어떤 비교도 쓸 수 없다. 정책 기조는 가장 짧은 만기에서 정해지고 파급은 더 긴 금리를 타고 흐르므로, 그런 비교에 필요한 것은 단기 끝에 정의한 측도다 (Bindseil 2004; Borio 1997).

그림자 금리는 하나로 정해진 수치가 아니다. 같은 곡선에 서로 다른 그림자금리 기간구조 모형을 대면 경로가 뚜렷이 달라지며, 그런 추정치가 사양과 요인 수와 가정한 하한에 얼마나 민감한지는 다툼거리가 아니라 이미 기록된 사실이다 (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015; Bauer and Rudebusch 2020; Hamilton and Wu 2012). 여기서 추정하는 대상은 이 하한에서 돌린 이 3요인 모형이며 그보다 넓지 않다 (Joslin, Singleton, and Zhu 2011).

판독을 묶는 한계가 셋이다. 수준은 모형이 식별하는 값이고 모수 벡터에 대한 민감도가 0.9184 %포인트에 이르러 공표 단위를 크게 넘으므로, 이웃한 두 달 사이의 근소한 차이는 발견이 아니다. 모수는 원논문의 표본에 고정되어 있고 그 뒤로 적합도가 떨어지며, 근사오차 수치가 이를 그대로 보여 준다 (Creal and Wu 2013). 그리고 하한이 물린 달 안에서는 관측된 무엇도 수준을 못 박지 않으므로, 거기서 읽히는 것은 누군가 호가한 기조에 대한 진술이 아니라 관측된 선도금리 곡선에 모형의 고정된 동학을 적용한 결과다 (Kim and Wright 2005; Kim and Orphanides 2012).

여기서 예측은 내놓지 않으며 전환점도 짚지 않는다. 이 계열이 보고하는 것은 모형이 각 달에 매기는 수준이고 그것은 함께 따라붙는 민감도 밴드 안에서 읽으며, 이 페이지의 어떤 값도 다른 시장이나 다른 설계로 만든 그림자 금리와의 일치나 불일치로 제시하지 않는다 (Diebold 2015).

금리 데스크에서 그림자 금리는 관측 금리가 묶여 있는 동안에도 기조를 읽히게 남겨 두는 형태이며, 그래서 곡선의 단기 끝이 달리 표현하지 못하는 기조 변수로 상대가치 작업에 들어온다 (Wu and Xia 2016; Black 1995). 긴 선도금리에 실리는 것은 기대되는 단기금리 경로와 위험을 지는 대가로 요구하는 보상이며, 그림자 금리가 말하는 바는 그 가운데 앞의 것뿐이다 (Hicks 1939; Cochrane and Piazzesi 2005).

그 쓰임에 걸리는 측정 사실이 셋이다. 이 수치는 가격이 아니라 필터의 출력이므로 수준이 사양의 가정을 안고 가며, 같은 곡선에 다른 그림자금리 모형을 대면 다른 답이 나온다 (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015). 요인의 추정된 지속성은 이 길이의 표본에서 하향 편의를 지니고 그 편의가 수준에 그대로 옮겨 붙는다 (Bauer, Rudebusch, and Wu 2012; Bauer and Rudebusch 2020). 그리고 투입은 호가가 아니라 적합 곡선에서 읽으므로 계열은 그 곡선의 적합 관행까지 물려받는다 (Nelson and Siegel 1987; Svensson 1994; Gürkaynak, Sack, and Wright 2007).

이 판독으로 세운 견해는 그림자 금리가 아니라 수익률곡선을 통해 표현한다. 그림자 금리는 상품이 아니고 이 금리로 빌려주는 시장도 없기 때문이다. 익스포저는 금리 변화를 가격 변화로 옮기는 듀레이션으로 재고 기간구조 전체에 정의한 면역화로 관리한다 (Macaulay 1938; Fisher and Weil 1971).

배제되는 쓰임이 둘이다. 수준만 놓고 문턱을 읽는 방식은 받쳐지지 않는데, 모수 벡터를 표준오차 하나만큼 흔들면 그 수준이 공표 단위보다 훨씬 크게 움직이기 때문이다. 그리고 이 계열은 곡선을 기대와 보상으로 가르는 분해가 아닌데, 단기 끝의 상태 하나일 뿐 그런 분할을 담고 있지 않기 때문이다 (Kim and Wright 2005; Diebold 2015).

USSHR은 원논문의 표본에서 한 번 추정한 뒤 다시 추정하지 않는 모수 벡터에서 관측된 1개월 선도금리를 인과적으로 한 번 훑는 확장 칼만 패스로 필터링한 잠재 단기금리이므로, 통계적 대상은 평활기가 만들어 낸 것이 아니라 관측된 선도금리 패널에서 물려받은 지속성을 지닌 모형 산출 금리 수준이다 (Wu and Xia 2016; Black 1995). 평활기가 손대지 않고 표본이 늘어나도 다시 추정되는 분산이 없으므로, 필터링된 추세라면 배제되었을 적분 배터리가 여기서는 타당하며 결정적 항의 사양도 미리 못 박지 않고 이 플랫폼의 추세 사전검정으로 정했다. 배터리는 1990-01-31부터 2026-06-30까지 438개 월별 자료점에서 돌린다.

Said and Dickey (1984)의 시차증강 형태에 Ng and Perron (2001)의 방식대로 정보기준으로 시차를 고른 Dickey and Fuller (1979)의 증강 검정은 통계량 −2.73628, p = 0.221331로 단위근을 기각하지 못하고, 비모수적인 Phillips and Perron (1988) 검정도 통계량 −2.25659, p = 0.458095로 같은 쪽에 서며, Kwiatkowski et al. (1992)의 KPSS 검정은 통계량 0.381639, p < 0.01에서 추세정상 귀무가설을 기각한다. 셋이 모두 같은 방향을 가리키므로 정직한 합치가 수준에 대해 명확한 I(1) 판정을 싣고, 어느 한 절차만 단독으로 어긋난 판독이 아니므로 Elliott, Rothenberg, and Stock (1996)의 GLS 추세제거 상향은 필요하지 않아 수행하지 않았다.

수준이 확률적 추세를 지니므로 포트맨토와 구조변화 탐색은 각각이 잘 정의되는 1차 차분으로 옮겨 간다. Box and Pierce (1970)의 원형을 정련한 Ljung and Box (1978) 통계량은 437개 자료점에서 월별 시차 사다리의 두 단 모두에 대해 차분 계열의 백색잡음 귀무가설을 기각하며, 시차 12에서 Q = 273.378, 시차 24에서 Q = 304.494이고 두 경우 모두 p = 0.000이다. Bai and Perron (2003)의 동적계획 알고리즘으로 같은 차분 대상에 대해 수행한 Bai and Perron (1998)의 다중 구조변화 절차는 차분 계열의 평균에서 어떤 변화점도 찾지 못했으므로 여기에 적는 변화점 날짜는 없다 (Perron 1989).

판정과 함께 붙는 한계가 넷이다. 하한이 물린 달 안에서 수준은 관측된 값이 아니라 모형이 식별하는 값이므로, 거기서 읽은 단위근 판독은 모형의 고정된 동학의 성질이지 정책 기조에 대한 진술이 결코 아니다 (Joslin, Singleton, and Zhu 2011; Hamilton and Wu 2012). 수준에 관한 모든 진술은 서술에 적어 둔 모수 민감도와 함께 가는데, 추정된 모수를 표준오차 하나만큼 흔들면 경로가 계열의 공표 단위보다 훨씬 크게 움직이기 때문이며, 필터가 딛고 선 닫힌 형태의 선도금리 표현도 만기가 길수록, 하한에 머문 시간이 길수록 오차가 커지는 근사이기 때문이다 (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015). 이 플랫폼의 하한 구간 표시는 원 연구의 음영보다 한 달 이르게 열리며, 이는 여기서 공시하고 바꿔 끼우지 않는다. 그리고 이 계열은 개정되지 않는데 고정된 모수 벡터에서 인과적으로 한 번 훑는 패스는 아무것도 다시 쓰지 않기 때문이며, 이는 검정 셀이 아니라 여기에 적는 구성상의 성질이다 (Kim and Wright 2005).

이 계열은 월별 모형 산출 금리 수준이며 상정되는 계절 성분이 없으므로 Hylleberg et al. (1990)의 계절 단위근 장치와 Canova and Hansen (1995)의 계절 정상성 검정은 적용되지 않으며 의도적으로 수행하지 않았는데, 계절 물음은 이 대상이 지니지 않는 역월 성분에 관한 것이기 때문이다 (Ghysels and Osborn 2001).