효율적 투자선

코스피와 코스닥의 상장 종목을 지나간 구간의 변동성과 평균수익률 평면에 점 하나씩으로 놓은 서술적 지도입니다. 그 종목들을 섞어 닿을 수 있었던 경계, 곧 사후 효율적 투자선을 같은 평면에 겹칩니다. 두 시장은 따로 추정하므로 한 번에 한 시장씩 봅니다. 값은 고른 구간의 주간 수익률에서 계산할 뿐, 앞날의 수익률을 두고는 아무 말도 하지 않습니다. 같은 종목이라도 구간을 한 해에서 전체 기간까지 바꾸면 자리가 옮겨 가는데, 구간마다 담기는 시장 국면이 다르기 때문입니다.

종목을 고르는 도구가 아닙니다. 곡선 위에 있거나 왼쪽 위에 놓인 종목이 그렇지 않은 종목보다 낫다는 뜻이 아니며, 십자선은 실제 거래 가능한 대표지수의 자리를 지나는 기준선일 뿐입니다.

효율적 투자선은 주어진 기대수익률에서 분산이 가장 작은 포트폴리오들을 이은 궤적이며, 이 화면이 그리는 것은 그 궤적의 사후 판본이다. 선택한 구간의 주간 단순수익률에서 종목별 평균과 공분산을 추정하고, 비중을 영 아래로 내리지 않는다는 제약 아래 그 추정치로 계산한 최소분산 경계를 연율 변동성과 연율 평균수익률의 평면에 놓는다. 코스피와 코스닥은 같은 적격 심사를 거친 하나의 종목 집합을 소속 시장으로 갈라 각각 따로 추정하므로 두 곡선은 서로 다른 표본에서 나온 별개의 추정이며, 화면은 시장을 골라 한 번에 하나의 평면을 보인다. 이 대상은 Markowitz (1952)가 평균과 분산의 두 모멘트만으로 포트폴리오 선택을 조직한 뒤로 자산가격 이론의 출발점이 되어 온 효율적 집합이다. 다만 여기에 들어가는 것은 미래의 모수가 아니라 지나간 구간의 표본이며, 그 점에서 이론의 대상과 갈라진다.

산점도는 곡선이 쓴 것과 같은 종목 집합을 점 하나씩으로 흩어 놓는다. 구간도 평면도 곡선의 것 그대로다. 점의 가로 좌표는 그 종목 주간 수익률의 표본 표준편차를 연율화한 값이고 세로 좌표는 표본평균을 연율화한 값이며, 곡선은 그 종목들을 섞어 만들 수 있는 조합의 왼쪽 위 경계를 축소한 공분산 위에서 그린 것이다. 곡선 위에는 평균수익률 추정을 전혀 쓰지 않는 최소분산 조합과, 표본 안 변동성이 동일가중과 가장 가까운 변동성 대응 조합을 표시한다. 여기에 같은 적격 종목을 같은 비중으로 담은 동일가중 대조군, 해당 시장의 종합지수와 실제 거래 가능한 상품이 따르는 대표지수, 그리고 변동성 영의 자리에 둔 무위험 단기금리를 같은 평면에 겹친다. 십자선은 원천 자료가 구간을 덮는 한 대표지수의 자리를 지난다.

곡선이 지나는 자리는 앞으로 실현될 수익률이 아니라 표본에서 추정된 값이 놓인 자리다. 이 구분을 가장 분명하게 세운 것이 Broadie (1993)의 세 곡선이다. 참 모수로 그린 곡선, 추정치로 그린 곡선, 추정치로 고른 조합이 실제로 얻는 곡선은 서로 다르고, 추정치로 그린 곡선은 나머지 둘보다 계통적으로 위에 놓인다. 표본 투자선의 이 통계적 취약성은 Jobson and Korkie (1981)가 일찍이 기록했고, 추정오차가 최적화를 통과하면서 오히려 증폭된다는 사실은 Michaud (1989)가 최적화를 추정오차의 극대화 장치라고 부르며 널리 알렸다. 그 민감도의 크기는 Best and Grauer (1991)가 평균의 작은 변화를 두고, Chopra and Ziemba (1993)가 평균과 분산, 공분산의 오차를 견주어 계량했다. 평균 추정이 가장 취약한 입력이라는 결론은 Merton (1980)이 보인 대로 표본 길이가 짧을수록 더 무겁게 작용한다. 최소분산 조합이 곡선 위에서 가장 안정적으로 정의되는 점인 것도, 공분산을 표본 공분산 그대로 쓰지 않고 Ledoit and Wolf (2003)가 포트폴리오 선택에 들여오고 Ledoit and Wolf (2004)가 상수상관 타깃으로 정식화한 축소 추정량으로 대체하는 것도 같은 사정에서 나온다. 비중의 하한을 영에 두는 제약 자체가 축소와 같은 정규화로 작동한다는 Jagannathan and Ma (2003)의 결과는 이 화면이 비중을 음으로 두지 않는 구성을 택한 근거다. 곡선 곁의 동일가중 대조군은 최적화된 조합이 표본 밖에서 단순한 동일가중에 뒤지기 쉽다는 DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)의 비교를 같은 평면에 옮겨 놓은 것이다.

산출은 선택한 구간마다 처음부터 다시 수행하며, 구간 사이에 어떤 모수도 공유하지 않는다.

(가) 수익률. 종목 $i$의 주 $t$ 수익률 $r_{i,t}$는 그 주에 속한 거래일의 보유자 수익률을 복리로 이어 붙인 주간 단순수익률이다. 주는 거래 캘린더 위에서 월요일에 시작하는 달력 주로 자르고 그 주의 마지막 거래일을 주의 날짜로 삼는다. 수익률은 현금배당을 넣지 않은 가격수익률이므로 배당이 큰 종목과 특히 우선주의 세로 좌표는 실제 보유 성과보다 낮게 놓인다. 거래가 정지되어 새 가격이 찍히지 않은 주의 수익률은 영으로 두고 그동안의 변동은 거래가 재개된 주에 한꺼번에 실현하는데, 이는 정지 구간의 보유 잔액을 무수익 현금처럼 두는 회계다. 기준가가 재설정된 날은 자본변경 원장을 조회해 배율이 확인된 경우와 무자본변경 정지로 판정된 경우를 갈라 다루며, 상장폐지된 종목은 마지막 관측 종가로 평가한 뒤 무수익 현금으로 들고 간다. 다만 적격 심사가 구간 전체의 상장을 요구하므로 상장폐지 종목이 이 평면에 오르는 일은 없다. 상장폐지 수익률을 절단하면 편향이 생기며, 그 처방은 Shumway (1997)를 따른다. 포트폴리오 수익률이 비중의 가중합으로 정확히 성립하는 것은 단순수익률뿐이므로 로그수익률은 쓰지 않고, 그 결과 일간 로그수익률로 연율 변동성을 재는 종목 상세 화면과는 같은 종목이라도 수치가 어긋난다. 주간 빈도를 택한 것은 일간 수익률에 실리는 비동시거래의 상관 편향을 공분산 수준에서 덜어 내기 위해서다.

(나) 적격 집합. 구간의 마지막 거래일을 기준으로, 구간 시작 전에 상장되어 구간 안에서 상장폐지되지 않았고, 구간 안에서 거래가 있었던 주의 비율이 하한 이상이며, 구간 안 거래일의 거래대금 중위값이 하한 이상이고, 소속 시장이 유가증권시장이나 코스닥시장인 종목만 남긴다. 우선주는 포함한다. 지수 편입 여부는 심사에 들어가지 않으며 어떤 종목의 적격성도 다른 종목에 의존하지 않으므로 시장 분할은 적격성을 바꾸지 않는다. 시장별로 적격 종목 수가 하한에 못 미치면 그 시장의 곡선은 그 구간에서 그리지 않는다. 구간이 길수록 그 기간 내내 상장돼 있던 종목만 남아 표본은 생존 종목 쪽으로 기운다.

(다) 모멘트. 구간의 주간 표본평균 $\bar{r}_i$와 표본 표준편차 $s_i$를 한 해의 주 수 $h$로 산술 연율화한다.

세로축이 산술평균이므로 복리로 쌓인 누적 수익률은 변동성이 클수록 이보다 낮고, 따라서 세로축이 높다고 누적 성과가 높은 것은 아니다. 짧은 표본에서 평균을 추정할 때의 표집오차는 Merton (1980)이 정식화했으며, 이 오차는 관측 빈도를 높여도 줄지 않고 구간을 늘려야만 준다.

(라) 공분산. 종목 수가 관측 주 수에 견줄 만큼 많고 짧은 구간에서는 그보다 많아, 표본 공분산 $S$는 추정오차가 크고 그런 구간에서는 특이해지므로, 상수상관 타깃 $F$와의 볼록결합으로 축소한다.

여기서 $\bar{\delta}$는 하나에서 축소강도 $\delta$를 뺀 나머지 가중치다. 타깃 $F$는 모든 종목 쌍의 상관을 표본 상관의 평균 하나로 두고 분산은 표본 분산을 그대로 쓴 행렬이며, $\delta$는 Ledoit and Wolf (2004)의 상수상관 공식으로 구해 영과 하나 사이로 절단한다. 축소를 포트폴리오 선택에 들여온 것은 Ledoit and Wolf (2003)이고, 항등 타깃을 쓰는 대차원 판본은 Ledoit and Wolf (2004, Journal of Multivariate Analysis)가 정식화했는데, 항등 타깃은 상관을 영 쪽으로 끌어 분산 효과를 실제보다 크게 보이게 하므로 이 화면은 상수상관 타깃을 쓴다. 어느 타깃을 쓰든 종목 간 상관 구조를 단순화한 근사인 것은 달라지지 않는다.

(마) 경계. 목표 평균 $m$을 최소분산 조합의 평균에서 표본 최대 평균까지 균등 격자로 옮기며 각 격자점에서 이차계획을 푼다.

비중 $w$는 각 성분이 음이 아니고 합이 하나가 되도록 제약한다. 해는 능동집합 이차계획법으로 직전 격자점의 해를 초기값 삼아 구하고 수렴하지 않으면 순차 이차계획법으로 다시 푼다. 최소분산 조합은 목표 제약 없이 같은 문제를 푼 것이고, 변동성 대응 조합은 곡선 위에서 표본 안 변동성이 동일가중과 가장 가까운 점이다. 비중 하한이 축소와 동등한 정규화로 작동한다는 것은 Jagannathan and Ma (2003)가 보였고, 이 절차가 Markowitz (1952)의 문제를 표본 입력으로 푸는 이상 Michaud (1989)가 이름 붙인 추정오차의 증폭을 그대로 안는다. 그 증폭이 얼마나 큰지는 Best and Grauer (1991)와 Chopra and Ziemba (1993)의 민감도 분석이 쟀다.

(바) 앵커와 대조군. 시장 종합지수와 대표지수는 같은 주 격자에서 지수 수준의 주간 종가비로 수익률을 만들고 같은 연율화를 적용해 배치한다. 지수는 기준가 재설정이 없으므로 종가비가 그대로 보유자 수익률이다. 대표지수는 원천 자료가 구간 전체를 덮는 경우에만 점을 찍으며, 덮지 못하면 점을 만들지 않고 십자선은 종합지수로 옮겨 간다. 무위험 단기금리는 구간 종료일 이전 최근 관측치를 변동성 영의 자리에 둔다. 동일가중 대조군은 같은 적격 집합을 같은 비중으로 담은 것이며 DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)의 비교 틀을 따른다. 곡선 위 조합, 동일가중, 지수의 자리는 모두 거래비용과 세금, 시장 충격을 차감하기 전의 수익률로 그린 것이다.

평균과 분산의 평면은 위험을 안고 수익을 구하는 선택을 경제학이 처음으로 하나의 최적화 문제로 적은 자리다. Markowitz (1952) 이전에 분산투자는 달걀을 한 바구니에 담지 말라는 격언이었고, 그 뒤로는 공분산 행렬이 정하는 기하학이 되었다. 자본시장 균형 이론은 이 기하학 위에서 세워졌으며, 시장이 분산으로 없앨 수 없는 위험에만 보상한다는 명제는 모든 투자자가 같은 효율적 집합을 본다는 가정에서 따라 나온다. 그래서 사후 투자선은 경제학에서 두 몫을 한다. 그 구간에 시장이 내준 분산투자의 편익을 재는 자이면서, 그 자가 얼마나 믿을 수 없는지를 함께 보이는 표본이다.

자로 쓸 때, 산점도와 곡선 사이의 거리는 그 구간에 실현된 분산 효과의 크기다. 개별 종목이 곡선에서 멀리 오른쪽에 흩어져 있을수록 종목 간 상관이 낮아 섞음의 이득이 컸다는 뜻이고, 한 요인이 시장 전체를 끌고 간 구간이면 상관이 높아져 그 거리가 좁아진다. 코스피와 코스닥은 별도의 평면에서 추정하므로 두 시장의 차이가 한 곡선에 합쳐지지 않는다.

기대수익률 추정의 정밀도는 표본의 길이에 좌우되고 관측을 촘촘히 한다고 나아지지 않는다는 것을 Merton (1980)이 보였으며, 그래서 짧은 구간의 세로 좌표는 거의 믿기 어렵다. 표본 투자선이 참 투자선에서 통계적으로 크게 벗어난다는 사실은 Jobson and Korkie (1981)의 시뮬레이션에 이미 나와 있고, 최적화가 오차가 큰 입력을 골라 담는 구조는 Michaud (1989)가 짚어 최적화된 포트폴리오가 실무에서 외면받는 까닭을 설명했다. 평균의 작은 변화가 비중을 뒤흔드는 정도는 Best and Grauer (1991)가 쟀고, 평균의 오차가 분산이나 공분산의 오차보다 몇 배나 큰 효용 손실을 낳는다는 것은 Chopra and Ziemba (1993)가 계량했다. Broadie (1993)는 여기에 참 투자선과 추정 투자선, 실제로 달성되는 투자선을 갈라 세웠다. 그래서 거시 자료로 자산배분을 논할 때도 평균 추정에 기댄 결론은 취약하고, 공분산 구조만으로 정의되는 최소분산 조합이 상대적으로 안정적인 대상이 된다.

공분산 추정도 표본 크기의 제약을 피하지 못한다. 종목 수가 관측 수에 견줄 만큼 많은 패널에서 표본 공분산은 극단적인 상관을 그대로 담고, Ledoit and Wolf (2003)와 Ledoit and Wolf (2004)의 축소 추정량은 그 극단을 구조화된 타깃 쪽으로 눌러 최적화가 오차를 골라 담는 여지를 줄인다. Jagannathan and Ma (2003)는 비중을 음으로 두지 않는 제약이 같은 일을 한다는 점을 보였으니, 주식을 빌려 파는 거래 없이 현물만 담는 흔한 운용 관행에는 통계적 근거가 있는 셈이다. 그럼에도 DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)이 여러 자료에서 확인한 대로 단순한 동일가중이 정교한 최적화를 표본 밖에서 자주 이긴다. 상장폐지 종목의 수익률을 표본에서 빼면 생존자만 남아 투자선 전체가 위로 올라간다. Shumway (1997)가 보인 절단 편향과 같은 계열의 문제이고, 이 화면에서도 구간이 길수록 그 기간을 끝까지 버틴 종목만 남는다.

운용 실무에서 사후 투자선은 지나간 구간의 성과를 진단하는 틀이지 다음 구간의 배분을 정하는 도구가 아니다. 운용자는 자기 포트폴리오의 자리를 같은 구간의 곡선과 견주어, 같은 변동성에서 얼마나 아래에 놓였는지를 읽고 그 간격을 분산이 모자랐던 몫과 종목 선택이 어긋난 몫으로 나누어 본다. 이 화면에서 그 기준점은 십자선이 지나는 대표지수다. 한국 시장에서 실제로 거래할 수 있는 광범위 상품은 종합지수가 아니라 KOSPI 200과 KOSDAQ 150을 따르는 상장지수펀드와 선물이므로, 십자선이 나누는 네 구역은 각 종목이 거래할 수 있는 지수보다 덜 출렁였는지, 평균수익률이 높았는지에 따라 갈린다. 종합지수는 그 지수가 놓치는 중소형주의 움직임까지 포함한 시장 전체의 자리이며, 두 번째 앵커다.

Markowitz (1952)의 틀을 실무로 옮기려는 시도는 처음부터 입력 추정에서 막혔다. Michaud (1989)가 지적한 대로 최적화는 평균이 우연히 높게 추정된 종목과 상관이 우연히 낮게 추정된 종목에 비중을 몰아 주고, Best and Grauer (1991)와 Chopra and Ziemba (1993)가 잰 민감도는 입력이 조금만 바뀌어도 그 비중이 통째로 뒤바뀐다는 뜻이다. 실무 처방은 그래서 세 갈래로 모였다. Ledoit and Wolf (2003)와 Ledoit and Wolf (2004)의 공분산 축소로 상관 추정의 극단을 누르고, Jagannathan and Ma (2003)가 정당화한 비중 하한으로 극단적인 비중을 막으며, 평균 추정을 아예 입력에서 빼는 최소분산 전략을 택하는 것이다. 이 화면이 곡선 위에서 최소분산 조합과 변동성 대응 조합만을 표시하고 비중과 접선 조합을 싣지 않는 것도 같은 처방을 따른 결과다. 곡선의 오른쪽 위는 평균이 가장 크게 추정된 종목이 끌고 가므로, Michaud (1989)와 Best and Grauer (1991)가 보인 대로 그쪽으로 갈수록 자리의 불확실성이 커진다.

곡선의 높이를 달성 가능한 성과로 읽으면 이 도구를 잘못 쓰게 된다. Broadie (1993)는 표본으로 그린 곡선이 참 곡선보다 위에, 그리고 그 곡선을 믿고 고른 조합이 실제로 얻는 곡선은 참 곡선보다 아래에 놓인다는 것을 보였고, Jobson and Korkie (1981)는 표본으로 그린 투자선이 참 투자선에서 크게 벗어난다는 것을 시뮬레이션으로 기록했다. DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)의 동일가중 비교는 그 간격이 실무에서 어떤 형태로 나타나는지를 보여 주는데, 표본 안에서 곡선 위에 있던 조합이 다음 구간에서는 동일가중에 뒤지는 일이 흔하다. 구간 버튼을 바꾸면 곡선도 종목의 자리도 따라 움직이며, 구간마다 표본과 기간이 다른 만큼 그 이동에는 추정오차와 시장 변화가 겹쳐 있다.

회계의 한계도 자리의 해석을 제약한다. 가격수익률 기준이라 현금배당이 큰 종목과 우선주는 실제 보유 성과보다 낮게 놓이고, 거래비용과 세금, 시장 충격을 차감하기 전의 수익률이라 거래가 얇은 종목일수록 실제로 얻을 수 있는 성과와의 간격이 크다. 이 화면의 적격 심사가 구간 전체의 상장을 요구하므로 긴 구간의 표본은 생존자 쪽으로 기운다. 수익률을 절단하지 않는 회계는 Shumway (1997)가 보인 편향을 막지만, 그 회계가 여기서 걸리는 종목은 없다.

이 곡선은 검정통계량을 발행하는 추정이 아니라 사후 서술이므로, 검정은 표본 밖 성과를 묻지 않고 계산이 사전등록한 사양대로 수행됐는지를 묻는 게이트로 짰다. 게이트의 기준은 계산 전에 등록했고 방향과 무관하게 채점했다.

정합성 게이트는 기본 구성과 모든 민감도 셀에서 축소 공분산의 최소고유값이 양수인지, 이차계획이 수렴했는지, 비중의 합이 하나에서 허용오차 안에 있는지, 어떤 비중도 음이 아닌지, 달성 평균이 목표에 미달하지 않는지를 전수로 확인한다. 같은 술어를 서빙 격자의 모든 창에 표본추출 없이 적용하고, 창을 쓰기 전의 사전조건으로도 쓴다. 전 창이 통과했다. 화면이 그리는 최근 구간은 배터리가 채점하는 증거 격자가 아니라 서빙층 산출물이지만, 쓰기 전에 통과해야 하는 술어는 다르지 않다.

회계 감사 게이트는 최신 완결 빈티지의 표본 밖 경로를 배터리 안의 독립 코드로 다시 계산해 주간 수익률의 오차가 부동소수점 허용오차 안에 있는지를 본다. 통과했다. 솔버 동치 검증은 격자점의 이차계획 해를 별개의 두 번째 최적화 알고리즘의 해와 견주어 목적함수 간격과 실행가능성 위반이 부동소수점 수준인지를 본다. 통과했다.

착지 기록은 완결된 빈티지마다 최소분산 조합, 변동성 대응 조합, 동일가중, 지수가 다음 구간에서 실제로 놓인 자리를 적어 둔다. 곡선이 표본 밖에서 이기든 지든 그대로 발행한다는 사전 약속이며, 판정을 내리지 않는 기록이다.

민감도 셀은 한 번에 한 요인만 바꾼 구성이다. 추정 창의 길이를 늘리거나 줄이고, 유동성 하한을 낮추고, 관측 비율 요건을 완전 관측으로 올리고, 축소 타깃을 스케일한 항등행렬로 바꾼 각 구성에 같은 게이트를 그대로 적용한다. 여기에 구간 상한 시점의 생존 종목으로 유니버스를 오염시킨 잘못된 구성을 음성 대조군으로 더해, 생존편의가 곡선을 얼마나 위로 미는지를 견준다. 모든 셀과 아티팩트는 사전등록 사양의 해시에 묶여 있어 사양이 바뀌면 전부 스테일로 판정된다.

검정하지 않는 것이 있다. 추정 곡선이 참 곡선에서 얼마나 떨어져 있는지는 Jobson and Korkie (1981)와 Broadie (1993)가 다룬 문제이고 여기서는 재지 않는다. 최적화 조합이 표본 밖에서 동일가중을 이기는지는 DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)의 질문이며 착지 기록이 자료를 남길 뿐 답하지 않는다. 평균 추정의 표집오차는 Merton (1980)이 보인 대로 구간의 길이가 정한다. 게이트 결과와 셀별 수치는 게이트 기록에 있다.