미국 달러 대비 원화 3개월 등가격 옵션내재 변동성

등가격 옵션내재 변동성은 선물환 기준 옵션 가격식이 체결된 원/달러 옵션 프리미엄을 재현하도록 하는 환율 변동성을 만기 3개월, 행사가격이 선물환율과 같은 지점에서 평가한 값이다. Black (1976)과 Garman and Kohlhagen (1983)의 가격식에서 변동성은 옵션 가격의 유일한 미관측 척도 모수이므로 체결된 프리미엄 하나는 하나의 내재변동성으로 역산되며, 통화옵션 시장은 등가격 지점을 중심으로 변동성 곡면을 호가한다(Reiswich and Wystup 2010). 본 계열은 Galati, Heath, and McGuire (2007)와 Aquilina et al. (2024)의 정의에서 3개월 등가격 옵션내재 변동성에 해당하는 캐리 대 위험 비율의 분모를 연율 백분율의 별도 계열로 공표한 것이다.

여기서 $\sigma_i$는 주 $w$에 이루어진 체결 $i$의 내재변동성이고, $K_i$는 행사가격, $F_i$는 체결 시각의 선물환율, $\tau_i$는 연 단위 만기이므로, $c_0$는 만기 3개월에서 행사가격이 선물환율과 같은 지점의 적합 변동성이다. 스마일은 이차식이며 Gatheral and Jacquier (2014)의 무차익 모수화처럼 완전한 형태를 쓰지 않는데, 한 주의 체결로는 그 모수를 정할 수 없기 때문이다. 각 값은 하루 종가가 아니라 주간 곡면 추정치로서 사실상 그 주 체결의 평균에 해당하며, 평균을 내면 주간 변화에 자기상관이 생긴다(Working 1960).

옵션은 역외 NDF 시장과 나란히 거래되며, 이 시장의 내재금리는 역내 금리와 어긋날 수 있다(Ma, Ho, and McCauley 2004). 입력 자료는 미국 보고 의무가 걸린 역외 원/달러 옵션의 공개 체결 기록으로 역외 시장의 일부에 해당한다. 본 계열은 옵션에 내재된 변동성이며 실현변동성이나 모형으로 걸러 낸 변동성이 아니고, Menkhoff et al. (2012)이 실현된 환율 변화로 만든 전 세계 변동성과도 다르다. 옵션 프리미엄에는 급락 위험에 대한 보상이 들어 있으므로(Jurek 2014) 그 수준은 이후 나타날 변동성이 아니라 가격에 반영된 위험을 나타내며, 서로 겹치지 않는 주를 쓰므로 겹치는 창의 상관은 생기지 않는다(Hansen and Hodrick 1980).

변동성은 Galati, Heath, and McGuire (2007)와 Aquilina et al. (2024)의 정의에 있는 3개월 등가격 옵션내재 변동성을 목표로 옵션 체결에서 다음 네 단계로 매주 추정하며, 딜러 호가의 중간값이 아니라 공개 체결 기록의 체결가격을 쓴다.

(1) 체결 선별. 원/달러 역외 차액결제 바닐라 옵션만 쓰고, 디지털·배리어·변동성·분산 상품, 실물인도 옵션, 명목금액이 상한값으로만 공개된 체결은 뺀다. 중복 보고·재보고·블록 배분은 하나의 체결로 합친다. 합친 체결의 보고 가운데 하나라도 패키지로 표시되어 있으면 패키지 체결로 보며, 전략 단위로 호가된 프리미엄은 개별 구성 옵션의 가격이 아니므로 패키지 체결은 제외한다(Reiswich and Wystup 2010).

(2) 체결 시각 선물환율과 유형 판별. 체결마다 그 체결 전후 5분 안, 체결이 드물면 15분과 30분까지 넓힌 역외 NDF(Ma, Ho, and McCauley 2004) 수준을 그날의 선물환 곡선으로 옵션 만기까지 옮겨 선물환율로 쓰고, 이를 콜·풋 쌍의 풋·콜 패리티가 함의하는 선물환율과 대조한다(Garman and Kohlhagen 1983). 콜·풋을 가리키는 두 표시가 서로 어긋나고 가격으로도 유형을 가릴 수 없는 체결은 제외하며, 행사가격·만기·명목금액이 같고 거의 동시에 이루어진 콜·풋 체결은 스트래들 하나로 합친다. 스트래들의 내재변동성은 그 표시와 무관하다.

(3) 역산. 각 프리미엄에서 Black (1976)의 선물환 기준 가격식, 곧 통화옵션에서는 Garman and Kohlhagen (1983)과 같은 식으로 $\sigma$를 역산한다.

위 식은 달러 명목 $N$당 프리미엄 $P$와 달러 할인계수 $\mathrm{DF}$로 쓴 달러 콜의 경우이며, 풋은 풋·콜 패리티로 얻고 할인에는 미국 국채 3개월물 금리를 평탄하게 적용한다.

(4) 주간 곡면과 수정. 만기가 정확히 3개월인 옵션은 거래가 드물어, 월요일부터 금요일까지 한 주에 이루어진 관측치를 모두 모은 뒤 만기 선형항을 더한 이차 스마일에서 3개월 지점을 보간한다.

적합 범위는 만기 21–213일과 $|m_i|\le 0.15$이다. 최소절대편차 적합에서 출발해 잔차가 척도를 조정한 중위절대편차의 세 배를 넘는 관측치를 잘라 내고 나머지를 최소제곱으로 다시 적합한다. 공표 값은 행사가격이 선물환율과 같은 지점인 $c_0$이므로 등가격은 선물환 기준으로 정의되며, 이는 통화옵션의 여러 등가격 관행 가운데 하나로(Reiswich and Wystup 2010) 델타 중립 스트래들 기준 호가와 다를 수 있다. 잘라 낸 뒤에도 관측치가 충분하고 그 가운데 3개월 부근과 등가격 부근의 관측치가 있으며 만기 폭이 충분히 넓은 주만 공표하고, 조건을 채우지 못한 주는 비워 두며 다른 주의 값으로 채우지 않는다. 한 주의 체결이 모수를 정하기에 너무 적어 Gatheral and Jacquier (2014)의 무차익 SVI 대신 이차 스마일을 쓰고, 서로 겹치지 않는 주를 쓰므로 중첩 상관은 생기지 않으며(Hansen and Hodrick 1980), 검정력은 관측 빈도가 아니라 표본 기간에 달려 있으므로 주간으로 모아도 지속성 분석에서 잃는 것은 적다(Shiller and Perron 1985). 체결은 정해진 순서로 처리해 반복 계산에서도 같은 값을 얻으며(Demmel and Nguyen 2013), 한 주가 끝난 뒤에도 정정·취소·지연 보고가 들어올 수 있어 해당 주를 다시 계산하므로 과거 값은 수정될 수 있다(Orphanides and van Norden 2002).

이 비율은 저금리 통화로 조달해 고금리 통화로 운용하는 캐리 트레이드 문헌 안에 원화를 놓는다. Fama (1984)는 선물환 할증이 이후 현물환율 변화의 편향된 지표라는 선물환 할증 이례를 보였으며, 따라서 선물환에 내재된 금리차에는 시간에 따라 변하는 위험 프리미엄이 섞여 있어 앞으로의 절하 폭을 가리키는 값이 아니다. Lustig, Roussanov, and Verdelhan (2011)은 선물환 할인율로 정렬한 통화 포트폴리오의 성과가 전 세계적 위험과 연결된 공통의 캐리 요인으로 설명됨을 보였다. Galati, Heath, and McGuire (2007)처럼 금리차를 옵션내재 변동성으로 나누면 캐리를 옵션시장이 매기는 위험의 단위로 다시 쓰게 되며, Bhansali (2007)가 캐리 포지션을 경제적으로 통화 변동성의 매도 포지션에 가깝다고 본 것도 같은 뜻이다.

이렇게 나누는 까닭은 위기 때 캐리와 변동성이 반대로 움직이기 때문이다. Brunnermeier, Nagel, and Pedersen (2008)은 캐리 포지션이 서서히 쌓였다가 위험과 자금 유동성 경색이 커지면 급격히 청산되어 고금리 통화가 급락 위험에 노출된다는 점을 기록했고, Menkhoff et al. (2012)은 전 세계 외환 변동성을 고금리 통화가 노출된 위험으로 지목했다. 따라서 내재변동성이 급등하면 금리차가 그대로여도 비율은 0 쪽으로 움직인다. Aquilina et al. (2024)이 엔화 조달 캐리 포지션의 급격한 청산 국면에서 살펴본 것이 바로 이런 모습이며, 그 바스켓에서 원화는 매수 쪽에 있었다. Daniel, Hodrick, and Lu (2017)는 캐리 전략의 손실 구간이 얼마나 깊고 길어질 수 있는지를 기록했다.

원화에서 이 비율은 한국에 특유한 두 가지 사정을 한 숫자로 압축한다. 분자는 역외 NDF에 내재된 금리차인데, 역외 시장이 역내와 분리되어 거래되므로 그 내재금리가 역내 금리와 어긋날 수 있고(Ma, Ho, and McCauley 2004), 커버드 금리평형 베이시스만큼 역내 단기자금시장 금리차와도 다르다(Du, Tepper, and Verdelhan 2018). 부호는 선물환 가격으로 볼 때 원화가 달러에 대해 운용통화인지 조달통화인지를 나타내며, 음수는 원화 매수 포지션이 캐리를 치른다는 뜻이다. Koijen et al. (2018)이 강조하듯 캐리는 가격이 그대로일 때에만 쌓이는 몫이고, Burnside et al. (2011)은 캐리의 성과를 짧은 표본에는 나타나지 않을 수 있는 드문 불리한 상태, 곧 페소 문제와 연결했다. 따라서 이 비율은 현재의 가격 여건을 특징지을 뿐 예측이 아니다.

비율은 선물환내재 금리차를 등가격 내재변동성으로 나눈 정확한 항등식이므로 주간 변화는 모두 두 동반 계열의 변화로 설명되며, 두 계열을 보면 어느 쪽이 움직였는지 알 수 있다. 세 계열은 하나의 구성이며 서로에 대한 독립 증거가 아니다.

원화 익스포저를 가진 외환 딜러와 투자자에게 이 비율은 원화 포지션이 안고 있는 선물환내재 금리차를 옵션이 가격에 반영한 환율 변동성에 견주어 하나의 척도로 보여 주며, 그 변동성의 전 세계 공통 부분은 Menkhoff et al. (2012)이 캐리에 가격이 매겨진 위험으로 지목한 것이다. 값이 0에 가까우면 금리차가 가격에 반영된 변동성에 비해 작다는 뜻이고, 부호가 바뀌면 원/달러 선물환의 어느 쪽이 캐리를 받는지가 바뀐다는 뜻이다(Koijen et al. 2018).

캐리와 옵션 보호는 하나의 상충 관계의 양면이다. Burnside et al. (2011)과 Jurek (2014)은 통화옵션으로 캐리 포지션을 헤지해 급락 위험을 걷어 내도 평균 캐리 성과의 일부가 남는다는 점을 보였고, Bhansali (2007)는 캐리 포지션 자체가 변동성 매도 포지션처럼 움직이며 그 노출의 값이 분모의 내재변동성으로 매겨진다는 점을 보였다. 달러 자산을 가진 원화 기반 투자자는 달러를 선물환으로 팔아 헤지하는데 이는 원화 매수 포지션이므로, 금리차가 음수이면 헤지 비용이고 양수이면 헤지 이익이다. 이 비율은 그 3개월 선물환 헤지의 캐리를 같은 시계의 옵션 헤지 가격과 맞대어 보여 준다(Garman and Kohlhagen 1983; Reiswich and Wystup 2010).

본 계열은 서술적 기록이며 예측이 아니고 매매 규칙도 아니다. 지속성이 높은 금융 비율에 자산 성과를 회귀하면 Stambaugh (1999)가 보인 소표본 편의가 생기고, 표본을 들여다본 뒤 고른 규칙에는 Lo and MacKinlay (1990)와 White (2000)가 분석한 데이터 스누핑 편의가 따르며, 캐리 전략은 짧은 표본에 담기지 않을 수 있는 깊고 긴 손실 구간을 겪어 왔다(Daniel, Hodrick, and Lu 2017).

기록은 미국 보고 의무가 걸린 역외 체결만 담아 역외 시장의 일부에 해당하고, 최근 주의 값은 지연 보고가 들어오면 수정될 수 있으므로 Orphanides and van Norden (2002)이 말하는 의미에서 잠정치이다. 이 비율을 선물환내재 금리차 및 내재변동성과 나란히 읽을 때는 세 계열을 하나의 항등식으로 다루고, 비율의 변화는 어느 구성요소가 움직였는지를 확인해 풀어야 한다.

KRFXIV3M은 원화의 달러 대비 주간 3개월 등가격(선물환 기준) 내재변동성으로, 시장에서 관측된 가격이 아니라 한 주 동안 보고된 옵션 프리미엄에 적합한 곡면에서 읽은 구성값이며, 검정 대상은 서명용 기록에 남은 2024-10-04부터 2026-09-25까지 104개 완결 주의 고정 표본에서 본 그 자연로그이다. Black (1976)과 Garman and Kohlhagen (1983)에서 변동성은 옵션 가격의 양의 척도 모수이고 그 충격은 수준에 비례해 커지므로 로그가 자연스러운 척도이며, 로그 변동성의 추세는 변동성을 0이나 무한대로 보내므로 결정적 항은 상수로 고정하고 추세 정상성은 검정 없이 무의미한 것으로 배제한다.

약 2년에 걸친 이 표본에서 로그 수준의 단위근 판독은 모호하며, 그 모호함은 어느 귀무가설도 기각되지 못하는 형태이다. Said and Dickey (1984)의 시차증강 형태를 취한 Dickey and Fuller (1979)의 증강 검정은 통계량 −2.38215, p = 0.146839로 단위근을 기각하지 못하고, Phillips and Perron (1988) 검정도 −2.5539, p = 0.102903으로 같은 판독을 내며, KPSS 검정 역시 0.203212, p > 0.10에서 수준 정상성을 기각하지 못한다 (Kwiatkowski et al. 1992). 두 귀무가설이 모두 살아남으므로 이 삼중 검정은 지속적인 정상 과정과 단위근 과정을 가를 수 없으며, 이는 짧은 기간이 낳는 낮은 검정력의 형태이므로 (Shiller and Perron 1985) 적분 차수는 부여하지 않고 계열을 적분된 것으로도 정상적인 것으로도 기술하지 않는다. 이런 모호한 판독에 대비해 행렬이 Dickey-Fuller 다리의 확인용으로 예비한 Elliott, Rothenberg, and Stock (1996)의 GLS 추세제거 검정은 이번 고정 표본 실행에서 수행하지 않았으므로, 모호함은 선호로 정리되지 않은 채 그대로 남는다.

로그 수준의 1차 자기상관은 0.891712이고 함의된 반감기는 약 6.05주로, 서술적 지속성 요약이지 적분 주장이 아니며 AR(1) 추정치의 준단위 소표본 하향 편의에 견주어 읽는다 (Andrews 1993). 계열의존과 변화점 진단은 2024-10-11부터 2026-09-25까지 103개의 주간 로그 변화에 대해 읽으며, 각 변화는 연속한 두 공표 주 사이에서만 만든다. Box and Pierce (1970)의 형식을 정련한 Ljung and Box (1978)의 포트맨토는 시차 13과 26에서 백색잡음을 기각하지 못하여 Q = 7.78964, p = 0.85703과 Q = 19.4397, p = 0.81734이며, 변동성 계열에서 평이한 포트맨토를 왜곡할 수 있는 변동성 군집에 대비하는 Escanciano and Lobato (2009)의 이분산 강건 자동 포트맨토도 0.467141, p = 0.494305로 같은 판독을 낸다. Bai and Perron (1998) 절차를 Bai and Perron (2003) 알고리즘으로 적용하면 차분로그 계열의 평균에서 변화점을 발견하지 못한다 (Perron 1989). 다만 103개의 변화로는 이 시차 길이의 포트맨토 검정력이 제한되고, 한 주의 체결을 모으는 것은 평균을 내는 것과 같아 변화에 양의 1차 상관을 유도하는데 (Working 1960) 이 시차의 검정은 그것을 잡아내기에 적합하지 않으므로, 기각하지 못한 결과는 백색잡음의 증명이 아니라 약한 증거이다.

이 계열에는 그 원형의 모형 유래 단서가 붙는데, 각 값이 보고된 가격에서 적합 곡면을 거쳐 만든 구성값이기 때문이다. 매주 그 주의 체결만으로 계산하고 표본을 다시 추정하지 않으므로 평활기처럼 이력을 다시 쓰는 일은 없지만, 지연 체결 보고는 처음 공표된 과거 주의 값을 여전히 수정할 수 있다. 보관본을 파일 날짜 순으로 재생하면 104주에 걸쳐 각 주의 처음 공표된 변동성과 최종 변동성 사이 절대 차이의 95분위는 0.0589 변동성 포인트로, 게이트의 허용 폭인 등가격 추정치 주간 표준오차의 중앙값 0.0792보다 작고, 처음 공표할 때 비어 있던 주는 없었다 (Orphanides and van Norden 2002). 이 그룹의 세 판정은 정확한 항등식으로 묶여 있어 캐리 대 위험 비율은 매주 선물환내재 금리차를 이 변동성으로 나눈 값과 같으므로 세 판정은 서로에 대한 독립 증거가 아니며, 여기서의 모호함은 나머지 두 계열의 명확한 적분 판독을 강하게도 약하게도 만들지 않는다.

이 계열은 주간이며 상정된 계절 주기가 없으므로 Hylleberg et al. (1990)의 계절 단위근 장치, Canova and Hansen (1995)의 계절 정상성 검정, 계절 더미 회귀는 적용되지 않으며 의도적으로 수행하지 않았다 (Ghysels and Osborn 2001; Beaulieu and Miron 1992).