米ドルに対する韓国ウォン3カ月アット・ザ・マネー・オプション内在ボラティリティ

アット・ザ・マネー・オプション内在ボラティリティは、先渡しに基づくオプション価格式が約定したウォン・ドルのオプション・プレミアムを再現するような為替ボラティリティを、満期3カ月、権利行使価格が先渡しレートに等しい点で評価した値である。Black (1976) とGarman and Kohlhagen (1983) の価格式ではボラティリティがオプション価格の唯一の観測されない尺度パラメータであるため、1つの約定プレミアムは1つのインプライド・ボラティリティに逆算され、通貨オプション市場はアット・ザ・マネーの点を中心にボラティリティ曲面を建値する（Reiswich and Wystup 2010）。本系列はキャリー・トゥ・リスク比率の分母、すなわち定義における3カ月アット・ザ・マネーのオプション内在ボラティリティ（Galati, Heath, and McGuire 2007; Aquilina et al. 2024）を、年率パーセントの独立の系列として公表したものである。

ここで $\sigma_i$ は週 $w$ に行われた約定 $i$ のインプライド・ボラティリティであり、$K_i$ は権利行使価格、$F_i$ は約定時刻の先渡しレート、$\tau_i$ は年単位の満期であるため、$c_0$ は満期3カ月で権利行使価格が先渡しレートに等しい点での当てはめボラティリティである。スマイルは2次式であり、Gatheral and Jacquier (2014) の無裁定パラメータ化のような完全な形は用いない。1週間の約定ではそのパラメータを定められないためである。各値は1日の終値ではなく週次の曲面推定値であって実質的にその週の約定の平均にあたり、平均をとると週ごとの変化に自己相関が生じる（Working 1960）。

オプションはオフショアのNDF市場と並んで取引され、この市場の内在金利は国内金利と乖離しうる（Ma, Ho, and McCauley 2004）。入力は米国の報告義務がかかるオフショアのウォン・ドル・オプションの公開約定記録であり、オフショア市場の一部にとどまる。本系列はオプションに内在するボラティリティであり、実現ボラティリティやモデルでフィルターしたボラティリティではなく、Menkhoff et al. (2012) が実現した為替変化から構成した世界的なボラティリティとも異なる。オプション・プレミアムにはクラッシュ・リスクへの対価が含まれるため（Jurek 2014）、その水準はその後に生じるボラティリティではなく織り込まれたリスクを表し、互いに重ならない週を用いるため重なり合う窓の相関は生じない（Hansen and Hodrick 1980）。

ボラティリティは、定義（Galati, Heath, and McGuire 2007; Aquilina et al. 2024）における3カ月アット・ザ・マネーのオプション内在ボラティリティを対象として、オプションの約定から次の4段階で毎週推定し、ディーラー気配の仲値ではなく公開約定記録の約定価格を用いる。

(1) 約定の選別. ウォン・ドルのオフショア差金決済型バニラ・オプションのみを用い、デジタル・バリア・ボラティリティ・分散の商品、現物受渡しのオプション、名目金額が上限値でしか公開されていない約定は除く。重複報告・再報告・ブロック配分は1つの約定に統合する。統合した約定の報告のうち1つでもパッケージと表示されていればパッケージ約定とみなし、戦略単位で建値されたプレミアムは個々の構成オプションの価格ではないため、パッケージ約定は除外する（Reiswich and Wystup 2010）。

(2) 約定時刻の先渡しレートと種類の判別. 各約定について、その前後5分以内、約定が少なければ15分、30分まで広げたオフショアNDF（Ma, Ho, and McCauley 2004）の水準を当日の先渡し曲線でオプションの満期まで移して先渡しレートとし、これをコールとプットの組のプット・コール・パリティが示す先渡しレートと照合する（Garman and Kohlhagen 1983）。コールかプットかを示す2つの表示が食い違い、価格によっても種類を判別できない約定は除外し、権利行使価格・満期・名目金額が等しくほぼ同時に行われたコールとプットの約定は1つのストラドルに統合する。ストラドルのインプライド・ボラティリティはその表示に依存しない。

(3) 逆算. 各プレミアムからBlack (1976) の先渡しに基づく価格式、すなわち通貨オプションではGarman and Kohlhagen (1983) と一致する式によって $\sigma$ を逆算する。

上式はドル名目 $N$ あたりのプレミアム $P$ とドルの割引係数 $\mathrm{DF}$ で表したドル・コールの場合であり、プットはプット・コール・パリティから得て、割引には米国債3カ月物利回りを一律に用いる。

(4) 週次の曲面と改訂. 満期がちょうど3カ月のオプションは取引が少ないため、月曜から金曜までの1週間に行われた観測値をすべてプールし、満期の線形項を加えた2次スマイルから3カ月の点を補間する。

当てはめの範囲は満期21〜213日と $|m_i|\le 0.15$ である。最小絶対偏差による当てはめから出発し、残差が尺度調整した中央絶対偏差の3倍を超える観測値を除いて残りを最小二乗法で当てはめ直す。公表値は権利行使価格が先渡しレートに等しい点である $c_0$ であり、アット・ザ・マネーは先渡しを基準に定義される。これは通貨オプションにおける複数のアット・ザ・マネーの慣行の一つであって（Reiswich and Wystup 2010）、デルタ・ニュートラル・ストラドルに基づく気配とは異なりうる。除外後も観測値が十分にあり、その中に3カ月近辺とアット・ザ・マネー近辺の観測値が含まれ、満期の幅が十分に広い週のみを公表し、条件を満たさない週は空欄とし、他の週の値で埋めない。1週間の約定ではパラメータを定めるには少なすぎるため、Gatheral and Jacquier (2014) の無裁定SVIではなく2次スマイルを用い、互いに重ならない週を用いるため重複による相関は生じず（Hansen and Hodrick 1980）、検定力は観測頻度ではなく標本期間に依存するため週次にまとめても持続性の分析で失うものは少ない（Shiller and Perron 1985）。約定は固定した順序で処理して繰り返し計算しても同じ値が得られるようにし（Demmel and Nguyen 2013）、週が締まった後にも訂正・取消・遅延報告が届きうるため該当する週を再計算し、過去の値は改訂されうる（Orphanides and van Norden 2002）。

本比率は、低金利通貨で調達して高金利通貨で運用するキャリー・トレードの文献の中にウォンを位置づける。Fama (1984) は先渡しプレミアムがその後の直物レートの変化を偏って示すという先渡しプレミアム・アノマリーを示しており、先渡しに内在する金利差には時間とともに変わるリスク・プレミアムが含まれ、今後の減価幅を示す値ではない。先渡しディスカウントで並べた通貨ポートフォリオの成果は、世界的なリスクに結びついた共通のキャリー要因で説明される（Lustig, Roussanov, and Verdelhan 2011）。金利差をオプションのインプライド・ボラティリティで割ると、キャリーをオプション市場が織り込むリスクの単位で表し直すことになり（Galati, Heath, and McGuire 2007）、Bhansali (2007) がキャリー・ポジションを経済的には通貨ボラティリティの売りポジションに近いとみなすのも同じ意味においてである。

この基準化が重要なのは、ストレス時にキャリーとボラティリティが逆方向に動くためである。キャリー・ポジションは徐々に積み上がり、リスクと資金流動性の逼迫が強まると急激に巻き戻されるため、高金利通貨はクラッシュ・リスクにさらされる（Brunnermeier, Nagel, and Pedersen 2008）。Menkhoff et al. (2012) は世界の為替ボラティリティを高金利通貨がさらされるリスクとして特定した。したがってインプライド・ボラティリティが急上昇すると、金利差が変わらなくても比率はゼロに近づく。Aquilina et al. (2024) が円調達のキャリー・ポジションの急激な巻き戻し局面で検討したのはまさにこの状況であり、そのバスケットでウォンは買い側にあった。キャリー戦略の損失局面が深く長く続きうることも記録されている（Daniel, Hodrick, and Lu 2017）。

ウォンについて、本比率は韓国に固有の2つの事情を1つの数値に凝縮する。分子はオフショアのNDFに内在する金利差であり、オフショア市場は国内市場とは別に取引されるためその内在金利は国内金利から乖離しうるうえ（Ma, Ho, and McCauley 2004）、カバー付き金利平価のベーシス分だけ国内の短期金融市場の金利差とも異なる（Du, Tepper, and Verdelhan 2018）。符号は先渡し価格で見てウォンがドルに対して運用通貨か調達通貨かを示し、負の値はウォン買いポジションがキャリーを支払うことを意味する。Koijen et al. (2018) が強調するようにキャリーは価格が変わらない場合にのみ積み上がる分であり、Burnside et al. (2011) はキャリーの成果を、短い標本には現れないかもしれない稀な不利な状態、すなわちペソ問題と結びつけた。したがって本比率は現在の価格状況を特徴づけるものであり、予測ではない。

比率は先渡し内在金利差をアット・ザ・マネーのインプライド・ボラティリティで割った正確な恒等式であるため、週ごとの変化はすべて2つの関連系列の変化で説明され、2つの系列を見ればどちらが動いたかがわかる。3つの系列は1つの構成であり、互いについての独立した証拠ではない。

ウォンのエクスポージャーを持つ為替ディーラーや投資家にとって、本比率はウォン・ポジションが抱える先渡し内在金利差を、オプションが織り込む為替ボラティリティと対比して1つの尺度で示す。そのボラティリティの世界共通部分は、Menkhoff et al. (2012) がキャリーにおいて価格付けされるリスクとして特定したものである。値がゼロに近ければ金利差が織り込まれたボラティリティに比べて小さいことを意味し、符号が変われば、ウォン・ドルの先渡しのどちら側がキャリーを受け取るかが入れ替わったことを意味する（Koijen et al. 2018）。

キャリーとオプションによる保護は1つのトレードオフの両面である。Burnside et al. (2011) とJurek (2014) は、通貨オプションでキャリー・ポジションをヘッジしてクラッシュ・リスクを取り除いても平均的なキャリーの成果の一部が残ることを示し、Bhansali (2007) はキャリー・ポジション自体がボラティリティの売りポジションのように振る舞い、そのエクスポージャーの値段が分母のインプライド・ボラティリティで決まることを示した。ドル資産を持つウォン建ての投資家はドルを先渡しで売ってヘッジするが、これはウォン買いのポジションであるため、金利差が負ならヘッジコスト、正ならヘッジによる上乗せとなる。本比率はその3カ月先渡しヘッジのキャリーを、同じ期間のオプションによるヘッジの価格と突き合わせる（Garman and Kohlhagen 1983; Reiswich and Wystup 2010）。

本系列は記述的な記録であり、予測ではなく売買ルールでもない。持続性の高い金融比率に資産の成果を回帰するとStambaugh (1999) が示した小標本バイアスが生じ、標本を見た後に選んだルールにはLo and MacKinlay (1990) とWhite (2000) が分析したデータ・スヌーピングのバイアスが伴い、キャリー戦略は短い標本には含まれないかもしれない深く長い損失局面を経験してきた（Daniel, Hodrick, and Lu 2017）。

記録は米国の報告義務がかかるオフショアの約定のみを含むためオフショア市場の一部にとどまり、直近の週の値は遅延報告が届くと改訂されうるため、Orphanides and van Norden (2002) のいう意味で暫定値である。本比率を先渡し内在金利差やインプライド・ボラティリティと並べて読む場合は、3つの系列を1つの恒等式として扱い、比率の変化はどの構成要素が動いたかを確かめて読み解く。

KRFXIV3Mは、ドルに対するウォンの週次3カ月アット・ザ・マネー・フォワードのインプライド・ボラティリティであり、市場で観測された価格ではなく一週間に報告されたオプション・プレミアムに当てはめた曲面から読み取った構成値である。検定対象は、署名用の記録に残された2024-10-04から2026-09-25までの104個の完結週の固定標本におけるその自然対数である。Black (1976)とGarman and Kohlhagen (1983)においてボラティリティはオプション価格の正の尺度パラメータであり、そのショックは水準に比例して大きくなるため対数が自然な尺度であり、対数ボラティリティの趨勢はボラティリティをゼロか無限大へ導くため、決定論的項は定数に固定し、趨勢定常性は検定せずに無意味なものとして排除する。

約2年にわたるこの標本で対数水準の単位根の判読は曖昧であり、その曖昧さはいずれの帰無仮説も棄却されない形である。Said and Dickey (1984)のラグ拡張形を取ったDickey and Fuller (1979)の拡張検定は統計量−2.38215、p = 0.146839で単位根を棄却できず、Phillips and Perron (1988)検定も−2.5539、p = 0.102903で同じ判読を示し、KPSS検定も0.203212、p > 0.10で水準定常性を棄却できない (Kwiatkowski et al. 1992)。二つの帰無仮説がともに残るため、この三検定は持続的な定常過程と単位根過程を区別できず、これは短い期間が生む低い検定力の形であるから (Shiller and Perron 1985)、和分次数は付与せず、系列を和分したものとも定常なものとも記述しない。このような曖昧な判読に備えて行列がDickey-Fullerの脚の確認用に予備しているGLSトレンド除去検定 (Elliott, Rothenberg, and Stock 1996) は今回の固定標本の実行では実施しなかったため、曖昧さは選好によって解消されずにそのまま残る。

対数水準の1階の自己相関は0.891712であり含意される半減期は約6.05週で、記述的な持続性の要約であって和分の主張ではなく、自己回帰推定量の準単位の小標本の下方バイアスに照らして読む (Andrews 1993)。系列依存と変化点の診断は2024-10-11から2026-09-25までの103個の週次対数変化に対して読み、各変化は連続する二つの公表週の間でのみ作る。Box and Pierce (1970)の形式を精緻化したLjung and Box (1978)のポートマントーはラグ13と26で白色雑音を棄却できず、Q = 7.78964、p = 0.85703とQ = 19.4397、p = 0.81734であり、ボラティリティ系列で平易なポートマントーを歪めうるボラティリティ・クラスタリングに備えたEscanciano and Lobato (2009)の分散不均一に頑健な自動ポートマントーも0.467141、p = 0.494305で同じ判読を示す。Bai and Perron (1998)の手続きをBai and Perron (2003)のアルゴリズムで適用すると、階差対数系列の平均に変化点を見いださない (Perron 1989)。ただし103個の変化ではこのラグ長のポートマントーの検定力は限られ、一週間の約定をプールすることは平均をとることに等しく変化に正の1階の相関を誘発するが (Working 1960)、このラグの検定はそれを捉えるのに向いていないため、棄却できなかった結果は白色雑音の証明ではなく弱い証拠である。

本系列にはその原型のモデル由来の注記が付く。各値が報告された価格から当てはめた曲面を経て作った構成値だからである。毎週その週の約定だけで計算し標本を再推定しないため平滑化のように履歴を書き換えることはないが、遅延した約定報告は最初に公表された過去の週の値をなお改訂しうる。保管記録をファイル日付の順に再生すると、104週にわたり各週の最初に公表されたボラティリティと最終のボラティリティの絶対差の95パーセンタイルは0.0589ボラティリティ・ポイントであり、ゲートの許容幅であるアット・ザ・マネー推定値の週次標準誤差の中央値0.0792を下回り、最初の公表時に空欄だった週はなかった (Orphanides and van Norden 2002)。このグループの三つの判定は正確な恒等式で結ばれており、キャリー・トゥ・リスク比率は毎週先渡し内在金利差をこのボラティリティで割った値に等しいため、三つの判定は互いについての独立した証拠ではなく、ここでの曖昧さは他の二つの系列の明確な和分の判読を強めも弱めもしない。

本系列は週次であり想定される季節周期がないため、Hylleberg et al. (1990)の季節単位根の装置、Canova and Hansen (1995)の季節定常性検定、季節ダミーの回帰は適用されず、意図的に実施しなかった (Ghysels and Osborn 2001; Beaulieu and Miron 1992)。