米国シャドー・フェデラルファンド金利

USSHRはシャドー・フェデラルファンド金利であり、政策金利が下限に張り付いた後にその位置を代わりに務める潜在的な短期金利である。市場で成立する短期金利はシャドーレートとその下限のうち大きい方であるから、下限が緩いときは互いに重なり、下限が効くとシャドーレートだけが動き続ける。これはBlack (1995)が提案しWu and Xia (2016)が推定した装置である。ここで用いる下限は原論文が採用した0.25%である。この系列はKREDが推定したモデルのフィルタリングされた潜在状態であって、観測金利でも測定値でも誰かが公表した系列の素通しでもない。

パラメータは原論文の標本である1990-01-31から2013-06-30までの282か月で一度だけ推定し、その後は再推定しない。状態はその一つのパラメータ・ベクトルのもとで、1990-01-31から2026-06-30までの438か月全体を因果的に一度走査するパスで前方へフィルタリングする。推定標本より後のあらゆる値はそれより前に固定されたパラメータから出ており、これは構成の細部ではなく構成の性質であるため、系列が現れるすべての面に併せて付いて回る (Joslin, Singleton, and Zhu 2011; Hamilton and Wu 2012)。

下限が効いた108か月において、この経路は原論文に付随する公表シャドーレート系列と平均絶対差0.0609 %ポイント、最大0.1668 %ポイント、相関0.9992で噛み合う。これは一致であってそれ以上ではない。その公表系列が再推定によるのかパラメータを固定したフィルタリングによるのか、あるいは別の方法によるのかは確認されていないため、ここでの一致は、手法を共有するという意味でも、その系列を引き継ぐという意味でも、より新しいヴィンテージであるという意味でもない。下限から外れた区間ではシャドーレートが政策金利を追うはずであり、下限が効かない330か月で平均0.293 %ポイント離れていて、比較の前に固定した0.3702 %ポイントの許容誤差に収まる。一つの比較対象を両側に等しく置いて測るとKREDの距離は0.271 %ポイント、公表系列の距離は0.270 %ポイントであり、KREDの方がわずかに遠いので同じだけ近いという主張は行わない。

水準は正確ではない。ゲートのかかったパラメータをそれぞれ頑健標準誤差一つ分だけ両方向に振ると公表経路は最大0.9184 %ポイント動き、これは公表の丸め単位0.01 %ポイントに対して測った値である。標本の最低月である2014-05-31では、シャドーレート−2.8875%の周りの包絡線が−3.0050%から−2.7738%まで伸びる。フィルタが立脚する先渡金利の表現は近似であり、その誤差は満期が長いほど、下限に留まった時間が長いほど大きくなり、推定標本を越えると当てはまりが落ちる。したがってある一か月の水準はそれ自体として読まず、この感応度の内側で読む (Bauer, Rudebusch, and Wu 2012; Bauer and Rudebusch 2020)。

この系列が何であるかは三つの文で閉じる。潜在状態であるから、ここに載る値で何かを借りたり貸したりすることはない。公開する面は月次のシャドーレートとその日付だけであり、ファクター、当てはめた先渡金利、あらゆるパラメータとあらゆる尤度は公開しない。そして推定対象はこの下限で回したこの三ファクター型シャドーレート期間構造モデルのシャドー・フェデラルファンド金利であるから、別の市場や別の定式化で作られたシャドーレートは別の対象であり、その種の比較はここでは行わない (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015; Creal and Wu 2013; Kim and Wright 2005)。

(1) モデル. 三つの潜在ファクターが曲線全体を動かす。シャドーレートはこれらについてアフィンであり、切片に固定のローディング・ベクトルをファクターへ当てた値を加えた形を取る。ファクターは物理測度と価格測度の双方で一次のベクトル自己回帰に従い、二つの測度のパラメータ集合は一方の測度を他方へ移すリスクの価格の分だけ異なる (Wu and Xia 2016; Joslin, Singleton, and Zhu 2011)。

(2) 下限. 下限のもとでの一期間の先渡金利は切断正規分布の期待値であり、原論文はこれを、下限にその満期でのシャドーレートの価格測度における標準偏差を掛けた項を足した閉じた形で書く。掛かる関数は、制約のない先渡金利と下限との標準化した距離を標準正規分布関数で重み付けした値に標準正規密度を加えたものであり、下限から遠く上ではその距離そのものに近づいて式は制約のない先渡金利に崩れ、遠く下では0に近づいて先渡金利が下限の上に座り込む (Black 1995; Krippner 2013)。

(3) 投入. 観測ベクトルは10年までの七つの満期における1か月先渡金利であり、毎月パラメータの載る最終日に、このパネルで標準となっている拡張パラメトリック系の当てはめゼロクーポン曲線から読む (Nelson and Siegel 1987; Svensson 1994; Gürkaynak, Sack, and Wright 2007)。各先渡金利は連続複利のゼロクーポン金利から、長い満期の金利にその満期を掛けた値から短い満期の金利にその満期を掛けた値を差し引いた形で作り、フィルタは月次の小数単位で回す。

(4) 推定. 決定論的な二段階である。下限のないガウス型モデルを線形フィルタリングでまず当てはめ、その最適点を出発点として下限のあるモデルを当てはめる。後者は下限の関数を現在の状態推定値の周りで線形化する拡張カルマンフィルタで推定する。識別は原論文の正規化に従い、ローディング・ベクトルを固定し、価格測度の切片を0に置き、価格測度の遷移行列を固有値の順序を定めた実ジョルダン形に、ボラティリティ行列を下三角に置いて、自由パラメータ22個と共通の測定分散一つを残す。推定は原論文の標本である282か月でのみ回すため、この長さの標本で推定された持続性にかかる下方バイアスはここでは補正せず、述べたまま抱えて進む (Bauer, Rudebusch, and Wu 2012; Hamilton and Wu 2012)。

(5) 前方へのフィルタリング. 公表経路はそのパラメータ・ベクトルのもとで438か月全体を同じフィルタで因果的に一度走査した結果であり、ファクター過程の無条件平均と共分散で一度初期化した後は再初期化しない。平滑器は系列に手を触れないため、過去の時点の値が後から入った情報で改定されることはなく、これはパラメータを推定し直しながらフィルタリングする期間構造の状態が示すヴィンテージの挙動とは逆である (Kim and Wright 2005; Kim and Orphanides 2012)。

(6) 経路の傍らで計算する開示. 先渡金利の表現の近似誤差は厳密な評価に対してシミュレーションで測る。標本のすべての1月を平均すると10年先渡で4.41ベーシスポイント、10年利回りで1.54ベーシスポイントであり、原論文が用いた1月だけを集めると2.50ベーシスポイントと1.02ベーシスポイント、原論文が報告した値は2.30ベーシスポイントと0.78ベーシスポイントである。したがって誤差は満期が長いほど大きくなり、推定標本を越えると当てはまりが落ちる。パラメータ・ベクトルへの感応度は、ゲートのかかったパラメータをそれぞれ頑健標準誤差一つ分だけ両方向に振って再度フィルタリングして測り、その結果経路は最大0.9184 %ポイント動いて公表の丸め単位0.01 %ポイントを大きく超える (Creal and Wu 2013; Bauer and Rudebusch 2020)。

(7) 下限が効いた月. ある月の末日の目標レンジ上限が0.25%以下であればその月を下限が効いた月と数え、438か月のうち108か月がこれに当たり、最初の月は2008-12-31である。原論文が下限の区間を陰影で示す起点は2009-01であり、この一か月の差はここで開示し、差し替えることはしない。下限の外の区間でシャドーレートと政策金利の間に残る距離の一部はモデルの誤差ではなくタイミングのずれである。シャドーレートは月末の量であり、突き合わせる政策金利は月平均だからである (Christensen and Rudebusch 2015)。

政策金利が下限に達すると観測金利はスタンスの変化をそれ以上記録しなくなるが、資産買入れや経路についての事前の案内、下限が続くと見られる期間は曲線を動かし続ける。シャドーレートは曲線がそのスタンスについて語る内容を再び金利の単位に移すものであり、この構成が存在する理由がまさにそれである (Black 1995; Wu and Xia 2016)。

反応関数やマクロ回帰で政策金利の位置に入れると、下限の区間でも途切れないスタンス変数がよみがえる。その区間はそうでなければ値が張り付いた区間であり、金利に依拠したいかなる比較も使えない。政策スタンスは最も短い満期で決まり波及はより長い金利を伝うため、そうした比較に必要なのは短期の端に定義した尺度である (Bindseil 2004; Borio 1997)。

シャドーレートは一つに定まった数値ではない。同じ曲線に異なるシャドーレート期間構造モデルを当てると経路ははっきり異なり、そうした推定値が定式化やファクター数や仮定する下限にどれほど敏感かは、争点ではなくすでに記録された事実である (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015; Bauer and Rudebusch 2020; Hamilton and Wu 2012)。ここで推定する対象はこの下限で回したこの三ファクター型モデルであり、それより広くはない (Joslin, Singleton, and Zhu 2011)。

判読を縛る限界が三つある。水準はモデルが識別する値であり、パラメータ・ベクトルへの感応度が0.9184 %ポイントに達して公表単位を大きく超えるため、隣り合う二か月のわずかな差は発見ではない。パラメータは原論文の標本に固定されており、その後は当てはまりが落ちる。近似誤差の数値がそれをそのまま示している (Creal and Wu 2013)。そして下限が効いた月の内側では観測された何ものも水準を固定しないため、そこで読み取られるのは誰かが気配を示したスタンスについての記述ではなく、観測された先渡金利の曲線にモデルの固定された動学を適用した結果である (Kim and Wright 2005; Kim and Orphanides 2012)。

ここでは予測を示さず、転換点も特定しない。この系列が報告するのはモデルが各月に与える水準であり、それは併せて付いて回る感応度のバンドの内側で読む。本ページのいかなる値も、別の市場や別の設計で作られたシャドーレートとの一致や不一致として提示しない (Diebold 2015)。

金利デスクにおいてシャドーレートは、観測金利が張り付いている間もスタンスを読める形に留めておく表現であり、そのため曲線の短期の端が他に表しえないスタンス変数として相対価値の作業に入ってくる (Wu and Xia 2016; Black 1995)。長い先渡金利に載るのは期待される短期金利の経路とリスクを負う対価として求められる報酬であり、シャドーレートが語るのはそのうち前者だけである (Hicks 1939; Cochrane and Piazzesi 2005)。

その用途にかかる測定上の事実が三つある。この数値は価格ではなくフィルタの出力であるから、水準は定式化の仮定を抱えて進み、同じ曲線に別のシャドーレート・モデルを当てれば別の答えが出る (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015)。ファクターの推定された持続性はこの長さの標本で下方バイアスを持ち、そのバイアスが水準にそのまま移る (Bauer, Rudebusch, and Wu 2012; Bauer and Rudebusch 2020)。そして投入は気配値ではなく当てはめ曲線から読むため、系列はその曲線の当てはめ慣行まで引き継ぐ (Nelson and Siegel 1987; Svensson 1994; Gürkaynak, Sack, and Wright 2007)。

この判読で立てた見方はシャドーレートではなくイールドカーブを通じて表現する。シャドーレートは商品ではなく、この金利で貸す市場も存在しないからである。エクスポージャーは金利変化を価格変化に移すデュレーションで測り、期間構造全体に定義した免疫化で管理する (Macaulay 1938; Fisher and Weil 1971)。

排除される用途が二つある。水準だけを置いて閾値を読む方式は支えられない。パラメータ・ベクトルを標準誤差一つ分振ればその水準が公表単位よりはるかに大きく動くからである。そしてこの系列は曲線を期待と報酬に切り分ける分解ではない。短期の端の状態が一つあるだけで、そうした分割を含んでいないからである (Kim and Wright 2005; Diebold 2015)。

USSHRは、原論文の標本で一度推定した後は再推定しないパラメータ・ベクトルのもとで、観測された1か月先渡金利を因果的に一度走査する拡張カルマンのパスでフィルタリングした潜在的な短期金利である。したがって統計的な対象は、平滑器が作り出したのではなく観測された先渡金利のパネルから受け継いだ持続性を持つ、モデル由来の金利水準である (Wu and Xia 2016; Black 1995)。平滑器が手を触れず、標本が伸びても推定し直される分散がないため、フィルタリングされたトレンドであれば排除されたはずの和分の検定群がここでは妥当であり、決定論的項の定式化もあらかじめ固定せず本プラットフォームのトレンド事前検定で定めた。検定群は1990-01-31から2026-06-30までの438個の月次データで回す。

Said and Dickey (1984)のラグ拡張形に、情報量基準でラグ長を選ぶ方式 (Ng and Perron 2001)を組み合わせたDickey and Fuller (1979)の拡張検定は、統計量−2.73628、p = 0.221331で単位根を棄却できず、ノンパラメトリックなPhillips and Perron (1988)検定も統計量−2.25659、p = 0.458095で同じ側に立ち、KPSS検定 (Kwiatkowski et al. 1992)は統計量0.381639、p < 0.01でトレンド定常の帰無仮説を棄却する。三つがそろって同じ方向を指すため、正直な合致が水準について明確なI(1)の判定を載せる。一つの手続きだけが単独で反対に回る判読ではないため、GLSトレンド除去による検定力の上位化 (Elliott, Rothenberg, and Stock 1996)は要しないので実施しなかった。

水準が確率的トレンドを持つため、ポートマントーと構造変化の探索は、それぞれが明確に定義される1階の階差へ移る。Box and Pierce (1970)の原型を精緻化したLjung and Box (1978)統計量は、437個のデータにおいて月次のラグ階梯の二つの段のいずれにおいても階差系列の白色雑音の帰無仮説を棄却し、ラグ12でQ = 273.378、ラグ24でQ = 304.494、いずれもp = 0.000である。Bai and Perron (2003)の動的計画アルゴリズムにより同じ階差の対象に対して行ったBai and Perron (1998)の多重構造変化の手続きは、階差系列の平均に変化点を見いださなかったため、ここに記す変化点の日付はない (Perron 1989)。

判定に伴う限界が四つある。下限が効いた月の内側では、水準は観測された値ではなくモデルが識別する値であるため、そこで読み取った単位根の判読はモデルの固定された動学の性質であって、政策スタンスについての記述では決してない (Joslin, Singleton, and Zhu 2011; Hamilton and Wu 2012)。水準についてのあらゆる記述は、記述欄に載せたパラメータ感応度と併せて進む。推定されたパラメータを標準誤差一つ分振ると経路が系列の公表単位よりはるかに大きく動くからであり、フィルタが立脚する閉じた形の先渡金利の表現も、満期が長いほど、下限に留まった時間が長いほど誤差が大きくなる近似だからである (Krippner 2013; Christensen and Rudebusch 2015)。本プラットフォームの下限区間の表示は原論文の陰影より一か月早く開くが、これはここで開示し、差し替えることはしない。そして本系列は改定されない。固定されたパラメータ・ベクトルのもとで因果的に一度走査するパスは何も書き直さないからであり、これは検定のセルではなくここに記す構成上の性質である (Kim and Wright 2005)。

本系列は月次のモデル由来の金利水準であり、想定される季節の量を持たないため、Hylleberg et al. (1990)の季節単位根の枠組みとCanova and Hansen (1995)の季節定常性検定は適用されず、この対象が持たない暦の成分についての問いであることから、意図的に実施しなかった (Ghysels and Osborn 2001)。