効率的フロンティア

コスピとコスダックそれぞれの上場銘柄を、過去の区間の変動性と平均収益率の平面に、銘柄ごとに一点ずつ置いた記述的な地図です。その銘柄を組み合わせて到達し得た境界が事後の効率的フロンティアであり、同じ平面へ重ねます。二つの市場は別々に推定するため、画面は一度に一つの市場を示します。値は選んだ区間の週次収益率から計算したものであり、今後の収益率については何も語りません。同じ銘柄でも区間を一年から全期間まで変えると位置が移りますが、区間ごとに含まれる相場局面が異なるためです。

銘柄を選ぶための道具ではありません。曲線上や左上に置かれた銘柄が、そうでない銘柄より優れているわけではありません。十字線も、実際に売買可能な代表指数の位置を通る基準線にすぎません。

効率的フロンティアとは、与えられた期待収益率のもとで分散が最も小さいポートフォリオをつないだ軌跡であり、この画面が描くのはその軌跡の事後版である。選んだ区間の週次単純収益率から銘柄ごとの平均と共分散を推定し、ウェイトをゼロ未満にしないという制約のもとでその推定値から計算した最小分散境界を、年率変動性と年率平均収益率の平面に置く。コスピとコスダックは、同じ適格審査を通った一つの銘柄集合を所属市場で分けてそれぞれ別々に推定するため、二つの曲線は異なる標本から得た別個の推定であり、画面は市場を選んで一度に一つの平面を示す。Markowitz (1952)が平均と分散の二つのモーメントだけでポートフォリオ選択を組織して以来、この効率的集合は資産価格理論の出発点であり続けてきた。ただしここで計算するのは将来のパラメータではなく過去の区間の標本であり、その点で理論が扱う対象とは性格が異なる。

散布図には、曲線を描いたのと同じ区間の同じ銘柄集合を、銘柄ごとに一点ずつ並べる。点の横座標はその銘柄の週次収益率の標本標準偏差を年率化した値であり、縦座標は標本平均を年率化した値である。曲線は、それらの銘柄から作れるポートフォリオの左上の境界を縮小した共分散の上で描いたものである。曲線上には、平均収益率の推定を使わない最小分散の組み合わせと、標本内の変動性が等ウェイトに最も近い変動性対応の組み合わせを示す。同じ適格銘柄を同じウェイトで持つ等ウェイトの対照群、その市場の総合指数と実際に売買可能な商品が追随する代表指数、変動性ゼロの位置に置いた無リスクの短期金利も、同じ平面に重ねる。十字線は、原資料が区間を覆う限り代表指数の位置を通る。

曲線が通る位置は、今後実現される収益率ではなく、標本から推定された値が置かれた場所である。この区別を最も鮮明に立てたのがBroadie (1993)の三本の曲線である。真のパラメータで描いた曲線、推定値で描いた曲線、推定値で選んだ組み合わせが実際に得る曲線は互いに異なる三つの対象であり、推定値で描いた曲線は残りの二つより系統的に上に置かれる。標本フロンティアのこの統計的な脆さはJobson and Korkie (1981)が早くから記録している。推定誤差が最適化を通るとむしろ増幅されることは、Michaud (1989)が最適化を誤差最大化の装置と呼んだことで広く知られるようになった。その感応度の大きさは、Best and Grauer (1991)が平均の小さな変化について、Chopra and Ziemba (1993)が平均と分散、共分散の誤差を見比べて計量した。平均の推定が最も脆い入力であるという結論は、Merton (1980)が示したとおり標本が短いほど重くのしかかる。最小分散の組み合わせが曲線上で最も安定して定義される点であることも、共分散を標本共分散のまま使わないことも、同じ事情から来ている。標本共分散に代えて用いる縮小推定量は、Ledoit and Wolf (2003)がポートフォリオ選択に持ち込み、Ledoit and Wolf (2004)が定数相関ターゲットとして定式化したものである。ウェイトの下限をゼロに置く制約それ自体が縮小と同じ正則化として働くことはJagannathan and Ma (2003)が示しており、この画面がウェイトを負にしない構成を採ったのはその結果に依る。曲線のそばの等ウェイトの対照群は、最適化した組み合わせが標本外では単純な等ウェイトに劣りやすいというDeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)の比較を同じ平面の上に移したものである。

算出は選んだ区間ごとに最初からやり直し、区間の間でいかなるパラメータも共有しない。

(ア) 収益率。 銘柄 $i$ の週 $t$ の収益率 $r_{i,t}$ は、その週に属する営業日の保有者収益率を複利でつないだ週次単純収益率である。週は取引カレンダーの上で月曜日に始まる暦週として切り、その週の最終営業日を週の日付とする。収益率は現金配当を含まない価格収益率であるため、配当の大きい銘柄、とりわけ優先株の縦座標は実際の保有成果より低く置かれる。売買が停止して新しい価格が付かなかった週の収益率はゼロとし、その間の変動は売買が再開した週にまとめて実現するが、これは停止区間の保有残高を無収益の現金のように置く会計である。基準価格が再設定された日は資本変更の台帳を照会し、倍率が確認された場合と資本変更のない停止と判定された場合とを分けて扱い、上場廃止となった銘柄は最後に観測した終値で評価したうえで無収益の現金として持つ。ただし適格審査が区間全体の上場を求めるため、上場廃止銘柄がこの平面に上ることはない。上場廃止の収益率を切り捨てると偏りが生じ、その手当てはShumway (1997)に従う。ポートフォリオの収益率がウェイトの加重和として正確に成り立つのは単純収益率だけであり、対数収益率は用いない。日次対数収益率で年率変動性を測る銘柄詳細画面とは、同じ銘柄でも数値が食い違うことになる。週次の頻度を選んだのは、日次収益率に載る非同時取引による相関の偏りを共分散の水準で取り除くためである。

(イ) 適格集合。 区間の最終営業日を基準に、区間の開始前に上場して区間内に上場廃止となっておらず、区間内に取引の記録がある週の比率が下限以上であり、区間内の営業日の売買代金の中央値が下限以上で、所属市場が有価証券市場かコスダック市場である銘柄だけを残す。優先株は含める。指数への採用の有無は審査に入らず、どの銘柄の適格性も他の銘柄に依存しないため、市場の分割は適格性を変えない。市場ごとの適格銘柄数が下限に届かなければ、その市場の曲線はその区間では描かない。区間が長いほどその期間を通じて上場していた銘柄だけが残り、標本は生き残った銘柄の側へ傾く。

(ウ) モーメント。 区間の週次標本平均 $\bar{r}_i$ と標本標準偏差 $s_i$ を一年の週数 $h$ で算術的に年率化する。

縦軸が算術平均であるため、複利で積み上がる累積収益率は変動性が大きいほどこれを下回る。縦軸が高いことは、累積成果が高いことを意味しない。短い標本から平均を推定するときの標本誤差はMerton (1980)が定式化しており、この誤差は観測の頻度を上げても減らず、区間を延ばすことでしか減らない。

(エ) 共分散。 銘柄数が観測週数に匹敵し、短い区間ではそれを上回るため、標本共分散 $S$ は推定誤差が大きく、そうした区間では特異となる。そこで定数相関ターゲット $F$ との凸結合へ縮小する。

ここで $\bar{\delta}$ は一から縮小強度 $\delta$ を引いた残りのウェイトである。ターゲット $F$ は、すべての銘柄ペアの相関を標本相関の平均という一つの値に置き、分散には標本分散をそのまま用いた行列である。$\delta$ はLedoit and Wolf (2004)の定数相関の公式で求め、ゼロと一の間に切り詰める。縮小をポートフォリオ選択に持ち込んだのはLedoit and Wolf (2003)であり、単位行列をターゲットとする大次元版はLedoit and Wolf (2004, Journal of Multivariate Analysis)が定式化した。ただし単位行列ターゲットは相関をゼロの側へ引き寄せて分散投資の効果を実際より大きく見せるため、この画面は定数相関ターゲットを用いる。いずれのターゲットを採っても、銘柄間の相関構造を単純化した近似であることに変わりはない。

(オ) 境界。 目標平均 $m$ を最小分散の組み合わせの平均から標本の最大平均まで等間隔の格子で動かし、各格子点で二次計画を解く。

ウェイト $w$ は各成分が非負で合計が一になるように制約する。解は能動集合法の二次計画で直前の格子点の解を初期値として求め、収束しない場合は逐次二次計画法で解き直す。最小分散の組み合わせは目標制約なしに同じ問題を解いたものであり、変動性対応の組み合わせは曲線上で標本内の変動性が等ウェイトに最も近い点である。ウェイトの下限が縮小と同等の正則化として働くことはJagannathan and Ma (2003)が示した。それでもこの手続きがMarkowitz (1952)の問題を標本の入力で解く以上、Michaud (1989)が名指しした推定誤差の増幅はそのまま残る。その増幅がどれほど大きいかは、Best and Grauer (1991)とChopra and Ziemba (1993)の感応度分析が測った。

(カ) アンカーと対照群。 市場の総合指数と代表指数は、同じ週次格子で指数水準の週次終値比から収益率を作り、同じ年率化を適用して配置する。指数には基準価格の再設定がないため、終値比がそのまま保有者収益率である。代表指数は原資料が区間全体を覆う場合にのみ点を置き、覆えない場合は点を作らず十字線は総合指数へ移る。無リスクの短期金利は区間終了日以前の最新の観測値を変動性ゼロの位置に置く。等ウェイトの対照群は同じ適格集合を同じウェイトで持ったものであり、DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)の比較の枠組みに従う。曲線上の組み合わせ、等ウェイト、指数の位置は、いずれも取引費用や税金、値動きへの影響を差し引く前の水準である。

平均と分散の平面は、リスクを負って収益を求める選択を経済学が初めて一つの最適化問題として書き記した場所である。Markowitz (1952)より前の分散投資は卵を一つの籠に盛るなという格言であり、それ以後は共分散行列が定める幾何学になった。資本市場の均衡理論はこの幾何学の上に築かれた。市場は分散投資で消せないリスクにだけ報いるという命題は、すべての投資家が同じ効率的集合を見ているとの仮定から導かれる。経済学の側から言えば、事後フロンティアは、その区間に市場が提供した分散投資の便益を測る物差しであり、同時に、その物差しがどれほど信用できないかを示す標本でもある。

物差しとして使うなら、散布図と曲線との距離がその区間に実現した分散投資の効果の大きさである。個別銘柄が曲線から右へ遠く散らばっているほど銘柄間の相関は低く、混ぜることの利得も大きかった。一つの要因が市場全体を引っ張った区間なら相関は高くなり、その距離は狭まる。コスピとコスダックは別々の平面で推定するため、二つの市場の違いが一本の曲線に合わさることはない。

期待収益率の推定精度が標本の長さに左右され、観測を細かくしても改善しないことをMerton (1980)が示した。そのため短い区間の縦座標はほとんど信用できない。Jobson and Korkie (1981)は標本フロンティアが真のフロンティアから統計的に大きく外れることをシミュレーションで記録し、Michaud (1989)は最適化が誤差の大きい入力を選び取る構造を指摘して、最適化したポートフォリオがなぜ実務で敬遠されるのかを説明した。平均の小さな変化がウェイトを揺さぶる程度はBest and Grauer (1991)が、平均の誤差が分散や共分散の誤差の何倍の効用損失を生むかはChopra and Ziemba (1993)が計量し、Broadie (1993)は真のフロンティアと推定フロンティア、実際に達成されるフロンティアを分けて示した。マクロ資料で資産配分を論じるときも、平均の推定に頼った結論は脆く、共分散構造だけで定まる最小分散の組み合わせが他より安定した対象となる。

共分散の推定も標本の大きさの制約を免れない。銘柄数が観測数に匹敵するパネルでは標本共分散は極端な相関をそのまま抱え込み、Ledoit and Wolf (2003)とLedoit and Wolf (2004)の縮小推定量はその極端を構造を与えたターゲットの側へ押さえて、最適化が誤差を選び取る余地を狭める。ウェイトを負にしない制約も同じ働きをすることをJagannathan and Ma (2003)が示しており、株を借りて売る取引をせず現物だけを持つ一般的な運用慣行には、統計的な裏づけがある。それでもDeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)が複数の資料で確認したとおり、単純な等ウェイトは精緻な最適化に標本外でしばしば勝つ。上場廃止銘柄の収益率を標本から落とせば生存者だけが残り、フロンティア全体が上へ持ち上がる。これはShumway (1997)が示した切り捨ての偏りと同じ系統の問題であり、この画面で長い区間ほど銘柄数が減って標本が生存者の側へ傾くのも、その一つの形である。

運用の実務では、事後フロンティアは過去の区間の成果を診断する枠組みであって、次の区間の配分を決める道具ではない。運用者は自分のポートフォリオの位置を同じ区間の曲線と見比べ、同じ変動性でどれだけ下に置かれたかを読み、その隔たりを分散が足りなかった分と銘柄選択が外れた分とに分けて見る。この画面でその基準点の役目を果たすのが十字線の通る代表指数である。韓国市場で実際に売買できる幅広い商品は、総合指数ではなくKOSPI 200とKOSDAQ 150に追随する上場投資信託と先物である。十字線が分ける四つの区域は、各銘柄が売買できる指数より値動きが小さかったか、平均収益率が高かったかをそのまま示す。総合指数は、その指数が取りこぼす中小型株の動きまで含めた市場全体の位置を示す二つ目のアンカーである。

Markowitz (1952)の枠組みを実務へ移そうとする試みは、最初から入力の推定でつまずいた。Michaud (1989)が指摘したとおり、最適化は平均がたまたま高く推定された銘柄と相関がたまたま低く推定された銘柄にウェイトを寄せる。Best and Grauer (1991)とChopra and Ziemba (1993)が測った感応度からすれば、入力が少し変わるだけでそのウェイトはそっくり入れ替わる。そのため実務の処方は三つの筋に集まった。Ledoit and Wolf (2003)とLedoit and Wolf (2004)の共分散縮小で相関推定の極端を押さえ、Jagannathan and Ma (2003)が正当化したウェイトの下限で極端なウェイトを防ぎ、平均の推定を入力から外してしまう最小分散戦略を採ることである。この画面が曲線上で最小分散と変動性対応の組み合わせだけを示し、ウェイトも接点ポートフォリオも載せないのは、同じ処方に従った結果である。Michaud (1989)とBest and Grauer (1991)が示したとおり曲線の右上は平均が最も大きく推定された銘柄が引っ張るため、そちらへ行くほど位置の不確かさは大きくなる。

曲線の高さを達成可能な成果として読むのは、この道具の誤用である。Broadie (1993)は、標本で描いた曲線が真の曲線より上に、その曲線を信じて選んだ組み合わせが実際に得る曲線が真の曲線より下に置かれることを示した。標本で描いたフロンティアが真のフロンティアからどれほど離れうるかは、Jobson and Korkie (1981)がシミュレーションで測った。DeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)の等ウェイト比較は、その隔たりが実務でどのような形で現れるかを示しており、標本内で曲線上にあった組み合わせが次の区間では等ウェイトに劣ることが珍しくない。区間ボタンを切り替えれば曲線も各銘柄の位置もそろって動くが、比べる区間は標本の中身も長さも別物であり、その移動には市場の変化と推定誤差が重なって現れる。

会計の限界も位置の解釈を制約する。価格収益率基準であるため、現金配当の大きい銘柄と優先株は実際の保有成果より低く置かれる。取引費用や税金、値動きへの影響を差し引く前の水準であるため、取引の薄い銘柄ほど実際に得られる成果との隔たりが大きい。この画面の適格審査が区間全体の上場を求めるため、長い区間の標本は生存者の側へ傾く。収益率を切り捨てない会計はShumway (1997)が示した偏りを防ぐが、その会計が働く銘柄はこの平面には残らない。

この曲線は検定統計量を公表する推定ではなく事後の記述であるため、検定は標本外の成果を問わず、計算が事前登録した仕様どおりに実行されたかを問うゲートとして組んだ。ゲートの基準は計算前に登録し、方向にかかわらず採点した。

整合性ゲートは、基本構成とすべての感応度セルにおいて、縮小共分散の最小固有値が正か、二次計画が収束したか、ウェイトの合計が一から許容誤差の範囲内にあるか、どのウェイトも負でないか、達成した平均が目標を下回っていないかを全数で確認する。同じ述語を配信格子のすべての窓に標本抽出なしに適用し、窓を書き込む前の前提条件としても用いる。すべての窓が通過した。画面が描く直近の区間は、バッテリーが採点する証拠格子ではなく配信層の産出であるが、書き込みの前に同じ述語を通っている。

会計監査ゲートは、最新の完結ビンテージの標本外経路をバッテリー内の独立したコードで計算し直し、週次収益率の誤差が浮動小数点の許容誤差の範囲内にあるかを見る。通過した。ソルバー同値検証は、格子点の二次計画の解を独立した第二の最適化アルゴリズムの解と見比べ、目的関数の隔たりと実行可能性の違反が浮動小数点の水準にあるかを見る。通過した。

着地記録は、完結したビンテージごとに、最小分散の組み合わせ、変動性対応の組み合わせ、等ウェイト、指数が次の区間で実際に置かれた位置を書き留める。曲線が標本外で勝とうが負けようがそのまま公表するという事前の約束であり、判定は下さない。

感応度セルは一度に一要因だけを変えた構成である。推定窓の長さを延ばし、あるいは縮め、流動性下限を下げ、観測比率の要件を完全観測に引き上げ、縮小ターゲットをスケールした単位行列に替えた各構成に、同じゲートをそのまま適用する。これに区間上限時点の生存銘柄でユニバースを汚染した誤った構成を陰性対照群として加え、生存者バイアスが曲線をどれだけ上へ押すかを見比べる。すべてのセルと成果物は事前登録した仕様のハッシュに結び付いており、仕様が変わればすべて陳腐化したと判定される。

検定しないものがある。推定した曲線が真の曲線からどれだけ離れているかはJobson and Korkie (1981)とBroadie (1993)が扱った問題であり、ここでは測らない。最適化した組み合わせが標本外で等ウェイトに勝つかはDeMiguel, Garlappi, and Uppal (2009)の問いであり、着地記録は資料を残すだけで答えない。平均推定の標本誤差はMerton (1980)が示したとおり区間の長さが定める。ゲートの結果とセルごとの数値はゲート記録にある。